całka nieoznaczona Filip:

	4x+1		4x+1
∫		= ∫
	(x2+4x+5)2		((x+2)2+1)2

Jakaś podpowiedź jak to dalej zrobić?

czitels: Ja mam taki pomysł, ale to długo zejdzie: W liczniku dajesz: 4(x+2)−7, robisz podstawienie x+2=t, rozbijasz a następnie zaczyna się troszke zabawy, bo mianownik jest podniesiony do potęgi. Nie będę się rozpisywał, ale od strony 314 w książce Krysicki Włodarki Analiza Matematyczna 1 masz takie przykłady już rozwiązane krok po kroku. Zastosuj tą metodę i dasz radę.

Mila: [x+2=t, dx=dt, x=t−2]

	4*(t−2)+1
∫		dt=
	(t2+1)2

Adam0: część całki rozwiążesz podstawiając u=t² drugą część, całkując przez części

Mariusz:

	4x+1		a1x+a0		b1x+b0
∫		dx=		+∫		dx
	(x2+4x+5)2		x2+4x+5		x2+4x+5

4x+1		a1(x2+4x+5)−(2x+4)(a1x+a0)
	=		+
(x2+4x+5)2		(x2+4x+5)2

b1x+b0
x2+4x+5

4x+1=a₁(x²+4x+5)−(2x+4)(a₁x+a₀)+(b₁x+b₀)(x²+4x+5) 4x+1=a₁x²+4a₁x+5a₁−2a₁x²−2a₀x−4a₁x−4a₀ +b₁x³+4b₁x²+5b₁x+b₀x²+4b₀x+5b₀ 4x+1=−a₁x²−2a₀x+5a₁−4a₀+b₁x³+4b₁x²+5b₁x+b₀x²+4b₀x+5b₀ 4x+1=b₁x³+(4b₁+b₀−a₁)x²+(5b₁+4b₀−2a₀)x+(5b₀+5a₁−4a₀) b₁=0 4b₁+b₀−a₁=0 5b₁+4b₀−2a₀=4 5b₀+5a₁−4a₀=1 b₁=0 b₀=a₁ −8a₁+4a₀=−8 10a₁−4a₀=1 b₁=0 b₀=a₁ a₀=2a₁−2 2a₁=−7 b₁=0 b₀=a₁ 2a₁=−7 a₀=−9

	1	7x+18		7		1
=−			−		∫		dx
	2	x2+4x+5		2		x2+4x+5

	1	7x+18		7		1
=−			−		∫		dx
	2	x2+4x+5		2		(x+2)2+1

	1	7x+18		7
=−			−		arctg(x+2)+C
	2	x2+4x+5		2

Można też użyć redukcji x²+4x+5=1+(x+2)² 1=(x²+4x+5)−(x+2)²

	1
1=(x2+4x+5)−		(x+2)(2x+4)
	2

4x+1=(x²+4x+5)−(x²+4) 1/2x−1 x²+4 : 2x+4 x²+2x −2x+4 −2x−4 8

	1		1
4x+1=(x2+4x+5)−		(x−2)(2x+4)−8((x2+4x+5)−		(x+2)(2x+4))
	2		2

	1
4x+1=−7(x2+4x+5)+		(2x+4)(−x+2+8x+16)
	2

	1
4x+1=−7(x2+4x+5)+		(2x+4)(7x+18)
	2

	4x+1		1   −7(x2+4x+5)+ (7x+18)(2x+4)   2
∫		dx=∫		dx
	(x2+4x+5)2		(x2+4x+5)2

	4x+1		−7(x2+4x+5)
∫		dx=∫		dx+
	(x2+4x+5)2		(x2+4x+5)2

1		(7x+18)(2x+4)
	∫		dx
2		(x2+4x+5)2

	4x+1		1		1		(7x+18)(2x+4)
∫		dx=−7∫		dx+		∫		dx
	(x2+4x+5)2		x2+4x+5		2		(x2+4x+5)2

	1		(7x+18)(2x+4)
Całkę		∫		dx
	2		(x2+4x+5)2

liczysz przez części

1		(7x+18)(2x+4)		1	7x+18		7		1
	∫		dx=−			+		∫		dx
2		(x2+4x+5)2		2	x2+4x+5		2		x2+4x+5

	4x+1		1	7x+18		7		1
∫		dx=−			+		∫		dx
	(x2+4x+5)2		2	x2+4x+5		2		x2+4x+5

	1
−7∫		dx
	x2+4x+5

	4x+1		1	7x+18		7		1
∫		dx=−			−		∫		dx
	(x2+4x+5)2		2	x2+4x+5		2		x2+4x+5

	4x+1		1	7x+18		7		1
∫		dx=−			−		∫		dx
	(x2+4x+5)2		2	x2+4x+5		2		(x+2)2+1

	4x+1		1	7x+18		7
∫		dx=−			−		arctg(x+2)+C
	(x2+4x+5)2		2	x2+4x+5		2