Dowód
Kuba: Dobry wieczór,
mam problem z zadaniem:
jeżeli a>b>=1
Pokaż, że a/(2+a
3)<b/(2+b
3)
Nie mam pojęcia jak to zrobić i byłbym bardzo wdzięczny, jeżeli ktoś, by zechciał mi to
wytłumaczyć.
Z góry dziękuję za pomoc
Basia:
przez nierówności równoważne
możesz mnożyć "na krzyż" bo mianowniki są dodatnie
a(2+b
3)<b(2+a
3)
2a+ab
3<2b+a
3b
ab
3−a
3b<2b−2a
ab(b
2−a
2)<2b−2a
ab(b−a)(b+a)<2(b−a) / : (b−a) b−a<0 bo b<a
ab(b+a)>2
a,b≥1 ⇒ ab≥1 ∧ a+b>2 (bo musi być "minimalnie" b=1 i a>1)
czyli
ab(b+a)>2 jest nierównością prawdziwą