Równianie z parametrem i modułem Sylwia: Hej. Proszę o pomoc w wykonaniu zadania w miarę krok po kroku. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: x² − (|m| + 1)x + m² = 0 ma dokładnie 1 rozwiązanie

a@b: Δ=0

Filip: m>0 i m<0 i liczysz Δ dla tych przedziałów, wyznaczasz miejsca zerowe i uzgadniasz które rozwiązania należą, a które nie

Sylwia: a jak moduł opuścić? rozbicie na dwa m>0 i m<0 już wystarczy?

PW: Nie należę do Sekty Wielbicieli Delty, więc zaproponuję inne rozwiązanie. Równanie kwadratowe podane w treści zadania ma dokładnie jedno rozwiązanie gdy powstało z równania x²=0 w wyniku "przesunięcia wykresu równolegle do osi OX", to znaczy podstawienia x → x−p, p∊R. Przybiera wówczas postać (x−p)²=0 x²−2px+p²=0. Musiałoby być więc

	⎧	2p=|m|+1
	⎩	p2=m2

Z drugiego równania wynika m=−p lub m=p, co podstawione do pierwszego z równań daje −2m=|m|+1 lub 2m=|m|+1. Rozwiązaniem pierwszego z tych równań jest m₁=−1, zaś drugiego m₂=1. Sprawdzenie: − dla m=1 badane równanie ma postać x²−2x+1−0, tzn. (x−2)²=0 − jedynym rozwiązaniem jest liczba 2. − dla m=−1 mamy identyczne równanie jak wyżej.

Sylwia: to strasznie skomplikowane

a@b: Δ= (|m|+1)²−4m²=0 (|m|+1+2m)(|m|+1−2m)=0 |m|=−2m−1 v |m|= 2m−1 dla −2m−1≥0 v 2m−1≥0 m≤−1/2 v m ≥1/2 m=−2m−1 v m= 2m+1 v m=2m−1 v m= −2m+1 teraz dokończ samodzielnie

PW: Sylwio, a o przesuwaniu wykresów uczyłaś się tylko po to, żeby rozwiązywać zadania zaczynające się od słów "Wykres funkcji f przesunięto o wektor...". A wszystkie zadania, w których jest x² musimy rozwiązywać za pomocą delty? A gdyby po lewej stronie był wielomian trzeciego stopnia z parametrem m i identyczne polecenie, to niestety nie można byłoby zastosować nieśmiertelnej delty, a rzastosowanie przesuwanie wykresu mogłoby coś dać.

Satan: Albo: Δ = −3m² + 2|m| + 1

	1
Δ' = 16, √Δ' = 4 ⇒ m1 = 1; m2 = −
	3

	1
|m| = 1 ⋁ |m| = −		⇒ m = 1 ⋁ m = −1
	3

I dodając coś od siebie − słuchaj, co mówi PW. Trzeba się uczyć różnych rozwiązań, bo liczenie delty nie zawsze jest najwygodniejszym sposobem. Tak samo warto czasami pokombinować z postacią kanoniczną, zależy od parametrów w równaniu

Sylwia: a to z czego −3m² + 2|m| + 1

Satan: Już tłumaczę. Mamy równanie: x² − (|m| + 1)x + m² = 0 Liczymy Δ: Δ = (|m| + 1)² − 4m² = |m|² + 2|m| + 1 − 4m² I teraz wykorzystujemy fakt, że: |m|² = m². Ogółem deltę w takim wypadku możesz zapisać jako: −3|m|² + 2|m| + 1 lub jako −3m² + 2|m| + 1, przy czym oba zapisy są sobie równe

	1
Co do wyników. Wychodzą miejsca zerowe 1 oraz −		, ale zmienną jest |m|.
	3

A jako, że |m| ≥ 0, uwzględniamy tylko rozwiązanie |m| = 1. W razie wątpliwości − pytaj śmiało dalej

a@b: No i tym razem Satan "przeciwnik" delty "dołożył" Ci jeszcze jedną deltę z kreską

Satan: Ja po prostu stwierdzam, że warto używać różnych metod Sam zwykle liczę deltę lub używam kanonicznej