Rozwiązać równanie Mateoo: 4x²y'' + 8xy' + y = 0 Czy mógłby mi ktoś podpowiedzieć jaką metodą rozwiązać to równanie?

Blee: czy wiesz chociaż co to za TYP równania różniczkowego ?

gg: Jest to jednorodne r.r. Eulera drugiego rzędu. Sposób rozwiązywania takich równań podany jest w podręczniku Krysickiego tom II.

Adam: Genialne te równania Próbowałem podstawić y=x^α, doszedłem do czegoś podobnego

gg: Rozwiązanie: y(x)= C₁x^−1/2+C₂x^−1/2lnx.

Mariusz: gg Krysicki to zbiór zadań a nie podręcznik Równanie Eulera można sprowadzić do równania liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem x=e^t Tutaj można też zgadywać całkę szczególną i obniżyć rząd równania

Adamm: Mariusz, może po prostu nie pamiętam, ale jak obniża się rząd równania mając całkę szczególną?

Adamm: ok, znalazłem dzięki Mariusz, nie znałem tego

Adamm: inny sposób który wymyśliłem, to podstawić y=x^αln^βx i szukać rozwiązań szczególnych bo widać że zawsze będą w tych równaniach Eulera takiej postaci

Mariusz: Adam obniżyć rząd można też jednym podstawieniem Niech y₁(x) będzie całką szczególną jednorodnego równania liniowego Możesz obniżyć rząd równania podstawieniem y(x)=y₁(x)∫u(x)dx Lepiej chyba sprowadzić do równania liniowego o stałych współczynnikach podstawieniem x=e^t Zauważysz wtedy że logarytm może być argumentem funkcji trygonometrycznych takich jak sinus czy cosinus

Adamm: no tak ale tak właściwie, to α − może wyjść nam urojone, β musi być całkowite nieujemne wtedy będziemy mieli sinusa lub cosinusa a w nim logarytm więc sposób z podstawieniem y=x^αln^βx nie jest taki zły

Adamm: chociaż podstawienie x=e^t mimo wszystko jednak lepsze, tak mi się wydaje nie trzeba kombinować

Mariusz: Też uważam że podstawienie x=e^t jest lepsze Prowadzi do równania liniowego o stałych współczynnikach a na tym etapie wiadomo już jak takie równania rozwiązywać

Matteo: Dzięki za pomoc

Mariusz: 4x²y'' + 8xy' + y = 0 x=e^t

dx
	=et
dt

dy		dy	dt
	=
dx		dt	dx

dy		dy
	=		e−t
dx		dt

	dy		dy
x		=et		e−t
	dx		dt

	dy		dy
x		=
	dx		dt

d2y		d		dy
	=		(		)
dx2		dx		dx

d2y		d		dy		dt
	=		(		)
dx2		dt		dx		dx

d2y		d		dy
	=		(		e−t)e−t
dx2		dt		dt

d2y		d2y		dy
	=(		e−t−e−t		)e−t
dx2		dt2		dt

d2y		d2y		dy
	=(		−		)e−2t
dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=e2t(		−		)e−2t
	dx2		dt2		dt

	d2y		d2y		dy
x2		=		−
	dx2		dt2		dt

4x²y'' + 8xy' + y = 0

	d2y		dy		dy
4(		−		)+8		+y=0
	dt2		dt		dt

	d2y		dy
4		+4		+y=0
	dt2		dt

	d2y		dy
4		+4		+y=0
	dt2		dt

Mamy równanie liniowe o stałych współczynnikach