Całki nieoznaczone Kayla: Jak liczyć całki? ;−; ∫2xdx to 1/2x² ? ∫4dx to 4? ∫√x to 2/3x^3/2 ? Mam takie ∫ w zadaniach i nie umiem ich obliczyć

Jerzy:

	1
∫2xdx = 2*∫xdx = 2*		x2 + C = x2 + C
	2

Jerzy: ∫4dx = 4*∫1*dx = 4*x + C = 4x + C

Jerzy: Trzecia dobrze, tylko dopisz stałą C.

Kayla: Dziękuję <3

Mariusz: Jeśli pamiętasz pochodne takich funkcji jak x^r ,e^x, sin(x), cos(x), ln(x), arcsin(x) , arctan(x) to całki zdajdujesz korzystając z tego że

d
	(F(x)+C)=f(x)
dx

gdzie F(x) jest funkcją pierwotną a f(x) jest funkcją podcałkową Następnie liczysz całki korzystając z liniowości ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx ∫cf(x)dx=c∫f(x)dx Następnie liczysz całki korzystając z całkowanina przez części Wychodzisz z pochodnej iloczynu , przekształcasz ten wzór i całkujesz obustronnie Jeśli chodzi o przykłady to tutaj masz takie jak ∫ln(x)dx , x>0

	1
∫		dx , tutaj stosujesz jedynkę trygonometryczną a dopiero całkujesz przez części
	cos2(x)

∫sin(ax)sin(bx)dx ∫e^xsin(x)dx ∫xⁿln(x)dx ∫xsin(ax)dx ∫xe^axdx Jeśli chodzi o całkowanie przez części to przydatne mogą być wzory redukcyjne

	dx
∫
	(1+x2)n

(tutaj jeśli chcesz mieć redukcję I_n+1=g(x)+K I_n to rozszerzasz ułamek o 1+x², rozbijasz na dwie całki i drugą z nich liczysz przez części jeśli chcesz mieć redukcję I_n=g(x)+K I_n−1 to zapisujesz licznik i mianownik w postaci 1=(1+x²)−x², rozbijasz na dwie całki i drugą z nich liczysz przez części) ∫sinⁿ(x)dx=∫sin(x)sinⁿ⁻¹(x)dx ∫cosⁿ(x)dx=∫cos(x)cosⁿ⁻¹(x)dx (tutaj po scałkowaniu przez części przydatna też będzie jedynka trygonometryczna ) Po wstępnym przećwiczeniu całkowania przez części liczycz całki przez zamianę zmiennych Aby wyprowadzić wzór na całkowanie przez podstawienie wychodzisz ze wzoru na pochodną złożenia Kilka przykładów na całkowanie przez podstawienie takich jak ∫(ax+b)ⁿdx ,a≠0 (rozbijasz na dwa przypadki n≠−1 , n=−1) ∫(ax²+b)^kxdx a≠0

	x
∫		dx
	√1−x2

	x
∫		dx
	1+x2

i jakieś tego typu niezbyt skomplikowane przykłady Całkujesz jeszcze przez części takie funkcje jak ∫arcsin(x)dx ∫arctg(x)dx Po wstępnym przećwiczeniu liniowości całki , całkowanie przez części , oraz całkowania przez podstawienie zabierasz się do całkowania funkcji wymiernych Tutaj głównie będziesz korzystać z liniowości całki ale całkowanie przez podstawienie też czasami się przyda , całkowanie przez części ukryte jest we wzorze redukcyjnym z którego można będzie skorzystać Tutaj przydatne będą też wiadomości z algebry np wiadomości o wielomianach takie jak dodawanie,odejmowanie mnożenie dzielenie z resztą NWD wielomianów (nie musimy znać rozkładu wielomianu na czynniki wystarczy brać reszty z kolejnych dzieleń) rozkład wielomianu na czynniki (liniowe i kwadratowe nierozkładalne nad R) Macierze Dodawanie ,odejmowanie Mnożenie (jeśli wymiary się zgadzają to mnemotechnicznie jest to macierz której elementy są iloczynem skalarnym wiersza i kolumny na przecięciu których się znajdują) Wyznacznik (suma iloczynów po wszystkich permutacjach z uwzględnieniem znaku permutacji) Eliminacja Gaussa Macierz odwrotna Rozkład macierzy np LU=PA Rząd macierzy (opcjonalnie bo przy tego typu układach równań jakie dostajemy przy wydzieleniu części wymiernej całki bądź przy rozkładzie na sumę ułamków prostych powinniśmy dostać układ oznaczony) Rozwiązywanie układów równań liniowych Na ogół rozwiązuje się je tak 1. Liczymy rzędy macierzy głównej i rozszerzonej o kolumnę wyrazów wolnych i sprawdzamy czy są równe 2. Sprowadzamy macierz do postaci Cramera (macierz główna układu kwadratowa a jej wyznacznik niezerowy) Z macierzy głównej układu wybieramy podmacierz kwadratową stopnia równego rzędom macierzy Nadmiarowe wiersze skreślamy a elementy nadmarowych kolumn przenosimy do kolumny wyrazów wolnych 3. Rozwiązujesz układ równań w postaci Cramera ulubionym sposobem Tutaj zostaje ci tylko punkt 3. Układy równań w postaci Cramera proponuję rozwiązywać z wykorzystaniem macierzy odwrotnej lub rozkładu LU bo jeśli pomylisz się przy przepisywaniu licznika to nie będziesz rozwiązywać tego układu równań od początku Całki z funkcji wymiernej to całki postaci

	L(x)
∫		dx
	M(x)

gdzie L(x) oraz M(x) są wielomianami Rozważmy trzy przypadki 1. Stopień Licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika Wydzielasz część całkowitą funkcji wymiernej czyli dzielisz z resztą licznik przez mianownik Niech L(x)=W(x)M(x)+R(x)

	L(x)		W(x)M(x)+R(x)
∫		dx=∫		dx
	M(x)		M(x)

	R(x)
=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)

2. Mianownik posiada pierwiastki wielokrotne rzeczywiste lub zespolone

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) Zauważ że M₂(x) ma te same pierwiastki co M(x) tyle że pojedyncze stopień R₁(x) < stopień M₁(x) stopień R₂(x) < stopień M₂(x) Za współczynniki wielomianów w licznikach (R₁(x) oraz R₂(x)) obierasz współczynniki literowe i różniczkujesz równość

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

aby je obliczyć Układ równań liniowych dostajesz sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika i porównując wielomiany w licznikach 3. Mianownik posiada pierwiastki pojedyncze rzeczywiste lub zespolone Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)...(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)...(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		dx+...+∫		dx+
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
∫		dx+∫		dx
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+...+∫		dx
	x2+pmx+qm

Układ równań liniowych dostajesz sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika i porównując wielomiany w licznikach Całkowanie ułamków prostych

	A
∫		dx=Aln|x−a|+C
	x−a

	Bx+C		1		2Bx+2C
∫		dx=		∫		dx
	x2+px+q		2		x2+px+q

	1		2Bx+Bp+2C−Bp
=		∫		dx
	2		x2+px+q

	B		2x+p		1		1
=		∫		dx+		(2C−Bp)∫		dx
	2		x2+px+q		2		(x2+px+q)

W pierwszej całce podstawiasz za trójmian kwadratowy w mianowniku t=x²+px+q W drugiej całce mianownik sprowadzasz do postaci kanonicznej

	p		p2
Możesz pomocniczo podstawić (x+		)2=(q−		)u2
	2		4

Całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) funkcja wymierna dwóch zmiennych Stosujesz podstawienia √ax²+bx+c=t−√ax ,gdy a>0 ax²+bx+c=t²−2√atx+ax² bx+c=t²−2√atx 2√atx+bx=t²−c x(2√at+b)=t²−c

	t2−c
x=
	2√at+b

	√at2−√ac
√ax2+bx+c=t−√ax=t−
	2√at+b

	√at2+bt+√ac
√ax2+bx+c=
	2√at+b

	2t(2√at+b)−2√a(t2−c)
dx=		dt
	(2√at+b)2

	2√at2+2bt+2√ac
dx=		dt
	(2√at+b)2

	t2−c		√at2+bt+√ac		√at2+bt+√ac
2∫R(		,		)		dt
	2√at+b		2√at+b		(2√at+b)2

√ax²+bx+c=xt+√c ,gdy c>0 ax²+bx+c=x²t²+2√cxt+c ax²+bx=x²t²+2√cxt ax+b=xt²+2√ct ax−xt²=2√ct−b x(a−t²)=2√ct−b

	2√ct−b
x=
	a−t2

	2√ct2−bt		2√ct2−bt+a√c−√ct2
√ax2+bx+c=xt+√c=		+√c=
	a−t2		a−t2

	√ct2−bt+a√c
√ax2+bx+c=
	a−t2

	2√c(a−t2)+2t(2√ct−b)
dx=		dt
	(a−t2)2

	2√ct2−2bt+2a√c
dx=		dt
	(a−t2)2

	2√ct−b		√ct2−bt+a√c		√ct2−bt+a√c
2∫R(		,		)		dt
	a−t2		a−t2		(a−t2)2

√ax²+bx+c=(x−x₁)t gdy b²−4ac>0 a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)²t² a(x−x₂)=(x−x₁)t² ax−ax₂=xt²−x₁t² ax−xt²=ax₂−x₁t² x(a−t²)=ax₂−x₁t²

	ax2−x1t2
x=
	a−t2

	ax2−ax1+ax1−x1t2		x2−x1
x=		=x1+a
	a−t2		a−t2

	x2−x1
√ax2+bx+c=(x−x1)t=(x1+a		−x1)t
	a−t2

	a(x2−x1)t
√ax2+bx+c=
	a−t2

	ax2−x1t2
x=
	a−t2

	−2x1t(a−t2)+2t(ax2−x1t2)
dx=		dt
	(a−t2)2

	2a(x2−x1)t
dx=		dt
	(a−t2)2

	ax2−x1t2		a(x2−x1)t		a(x2−x1)t
2∫R(		,		)		dt
	a−t2		a−t2		(a−t2)2

Zauważ że pierwsze i trzecie podstawienie wystarczą do sprowadzenia całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx do całek z funkcji wymiernej Całki postaci ∫x^m(axⁿ+b)^pdx Rozważmy trzy przypadki p∊ℤ Tutaj stosujemy podstawienie x=t^β gdzie β=NWW(m,n)

m+1
	∊ℤ
n

	r
Niech p=
	s

Stosujemy podstawienie t^s=axⁿ+b

m+1
	+p∊ℤ
n

	r
Niech p=
	s

	axn+b
Stosujemy podstawienie ts=
	xn

Całki postaci ∫R(sin(x),cos(x))dx

	x
Stosujesz podstawienie t=tg(		+φ)
	2

gdzie φ=const Przyjmijmy że φ=0

	x		x
sin(x)=2sin(		)cos(		)
	2		2

	x   x   2sin( )cos( )   2   2
sin(x)=
	x   x   cos2( )+sin2( )   2   2

	x   2tg( )   2
sin(x)=
	x   1+tg2( )   2

	2t
sin(x)=
	1+t2

	x		x
cos(x)=cos2(		)−sin2(		)
	2		2

	x   x   cos2( )−sin2( )   2   2
cos(x)=
	x   x   cos2( )+sin2( )   2   2

	x   1−tg2( )   2
cos(x)=
	x   1+tg2( )   2

	tg(x+Δx)−tg(x)
limΔx→0
	Δx

	tg(x)+tg(Δx)   −tg(x) 1−tg(x)tg(Δx)
limΔx→0
	Δx

	tg(x)+tg(Δx)−tg(x)+tg2(x)tg(Δx)   1−tg(x)tg(Δx)
limΔx→0
	Δx

	tg(Δx)+tg2(x)tg(Δx)   1−tg(x)tg(Δx)
limΔx→0
	Δx

	tg(Δx)(1+tg2(x))   1−tg(x)tg(Δx)
limΔx→0
	Δx

	tg(Δx)(1+tg2(x))	1
limΔx→0
	1−tg(x)tg(Δx)	Δx

	tg(Δx)	1+tg2(x)
limΔx→0
	Δx	1−tg(x)tg(Δx)

	1	sin(Δx)	1+tg2(x)
limΔx→0
	cos(Δx)	Δx	1−tg(x)tg(Δx)

	1		sin(Δx)		1+tg2(x)
limΔx→0		limΔx→0		limΔx→0
	cos(Δx)		Δx		1−tg(x)tg(Δx)

=1+tg²(x)

	x
t=tg(		)
	2

	1		x
dt=		(1+tg2(		))dx
	2		2

2dt=(1+t²)dx

	2
dx=		dt
	1+t2

	2t		x   1−tg2( )   2		2
∫R(		,		)		dt
	1+t2		x   1+tg2( )   2		1+t2

Całki postaci ∫R(e^cx)dx tutaj podstawienie samo się narzuca t=e^x Do tych całek sprowadzają się różne całki z hiperbolicusów czyli całki postaci ∫R(sinh(x),cosh(x))dx Sprowadzanie całek do znanych funkcji nieelementarnych jak Funkcja wykładniczo całkowa , sinus całkowy , cosinus całkowy , logarytm całkowy Funkcja błędu , sinus Fresnela i cosinus Fresnela Całki eliptyczne Nie jestem pewien czy ten punkt programu nie będzie wymagał czasem całek oznaczonych jeśli tak to trzeba go odłożyć na później jednak sugerowałbym go nie pomijać bo tam są przydatne całki (np jaka jest długość południka przy danych R₁=6378 , R₂=6357) Całkowanie funkcji przez rozwinięcie w szereg Po przećwiczeniu całek nieoznaczonych przechodzisz do tych oznaczonych