liczby zespolone Kuba: Dzień dobry, na razie miałem jeden wykład z liczb zespolonych i za bardzo nie wiem jeszcze jak rozwiązywać z nich zadania. zadanie brzmi: W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż: z²+ 3 ̄z= 0; Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić jak to się robi? Z góry dziękuję za odpowiedź

PW: Widać, że liczba z₀=0 jest rozwiązaniem. Dla pozostałych z po pomnożeniu stronami przez z otrzymamy równanie równoważne z³+3zz̅=0 z³+3|z|²=0 (1) z³=−3|z|² Prawa strona równania jest liczbą rzeczywistą, więc i lewa taka być musi. Jest oczywiste, że liczba rzeczywista (−3) jest rozwiązaniem. Jeżeli liczba z nie jest rzeczywista, to w postaci trygonometrycznej z=|z|(cosφ+isinφ), a więc z³=|z|³(cos3φ+isin3φ) i równanie (1) przyjmie postać |z|³(cos3φ+isin3φ)=−3|z|² |z|(cos3φ+isin3φ)=3(−1) |z|(cos3φ+isin3φ)=3(cosπ+isinπ), skąd

	π
|z|=3, φ=		,
	3

czyli

	π		π
z=3(cos(		+isin		)
	3		3

	1		√3
z=3(		+i		)
	2		2

	3
z=		(1+√3 i)
	2

Sprawdźmy na wszelki wypadek ostatnie rozwiązanie:

	9		3		9		9
z2+3z̅=		(1+2√3i−3)+3.		(1−√3 i)=		(−2+2√3i)+		(1−√3i)=
	4		2		4		2

	9		9
=		((−1+√3i)+		(1−√3i)=0.
	2		2

	3
Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są trzy liczby: 0, −3 ,		(1+√3 i)
	2

Trudne równanie dla początkującego, zwłaszcza że wydaje się być równaniem kwadratowym, a więc spodziewalibyśmy się dwóch rozwiązań.

PW: Coś mnie tknęło, że nie rozwiązałem dobrze korzystając z postaci trygonometrycznej (zgubiłem jedno z rozwiązań, nie będę tłumaczył jak to się stało). Zróbmy więc metodą najprostszą − podstawiając z=x+iy z²=x²+2xyi+(iy)²=x²+2xyi−y² z̅=x−iy Mamy więc rozwiązać równanie x²−y²+2xyi+3x−3yi=0, a więc właściwie układ równań (część rzeczywista i urojona muszą być jednocześnie równe zeru):

	⎧	x2−y2+3x=0
	⎨
	⎩	2xy−3y=0

Z drugiego y(2x−3)=0, zatem (1) y=0 lub

	3
(2) x=		.
	2

(1) oznacza, że liczba z jest rzeczywista; po podstawieniu do pierwszego z równań układu otrzymamy x²−3x=0 ⇔ x=0 ∨ x=3. Podstawienie (2) daje

	9		3
		−y2+3.		=0
	4		2

	27
y2=
	4

	3√3		3√3
y=		lub y=−		.
	2		2

Daje to dwa następne rozwiązania:

	3		3√3		3		3√3
		+		i,		−		i
	2		2		2		2

	3		3
		(1+√3 i),		(1−√3 i)
	2		2

Sam sprawdź to czwarte rozwiązanie.