Niezerowy wielomian symetryczny qwert: Wielomian W(x, y, z) nazywa się symetrycznym, jeżeli W(x, y, z) = W(y, x, z) = W(z, y, x) = W(x, z, y). Podaj przykład niezerowego wielomianu symetrycznego.

Basia: na przykład taki W(x,y,z) = x+y+z

Lech: Ogolnie W(x,y,z) = ax+ay+az ,

Adamm: to będzie dowolny wielomian Q(x+y+z, xy+xz+yz, xyz) i tylko takie

Basia: co oznacza zapis Q(x+y+z, xy+xz+yz, xyz) ?

Blee: Adamm, a juz: W(x,y,z) = x³y²z + x²yz³ + xy³z² + x³yz² + x²y³z + xy²z³ nie moze być

jc: Blee, W(x,y,z)=(x+y+z)(xy+yz+zx) (xyz) − 3(xyz)² = Q(x+y+z, xy+xz+yz, xyz)

Mariusz: Wielomian symetryczny to taki wielomian który po dowolnej permutacji zmiennych pozostaje tym samym wielomianem a te wielomiany co podał Adam to tzw wielomiany symetryczne podstawowe nazywane też elementarnymi wielomianami symetrycznymi Jest twierdzenie że każdy wielomian symetryczny może być przedstawiony za pomocą elementarnych wielomianów symetrycznych używając skończonej liczby dodawań i mnożeń Jest także algorytm wyrażający dany wielomian symetryczny za pomocą elementarnych wielomianów symetrycznych

Adamm: tak jak napisał Mariusz jest takie twierdzenie ale dowód jest dość skomplikowany, więc go nie przytoczę

Mariusz: Jeśli Q jest dowolnym wielomianem to odpowiedź Adama jest poprawna Argumentami wielomianu Q są elementarne wielomiany symetryczne Z elementarnymi wielomianami symetrycznymi mieliśmy już do czynienia podczas omawiania wzorów Vieta

Mariusz: U Sierpińskiego trochę o tym jest http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf