taka całka :D cynamonek: ∫ (x⁴ − 4*x³ + x² + 14*x − 23) : (x³ − x² −2*x +18) wyjdą mi 3 całki 1 całka = 1/2 x²+c 2 całka = 3x +c 3 całka ∫x³ − x² +18 : 10x+31 mógłby ktoś powiedzieć czy dobrze zmierzam sobie :? i ewentualnie podać dalsze wyniki ?

PW: A jak to robisz? Dzielisz licznik przez mianownik?

cynamonek: tak

cynamonek: ale mogę to robić na 3 oddzielne całki

Basia: napisz jaki masz wynik po wykonaniu dzielenia licznika przez mianownik wtedy będzie wiadomo o co Ci rzeczywiście chodzi

PW: Jeżeli dzielisz, to nie rozumiem skąd ostatnia całka.

cynamonek: 3 całka to x³− x² − 2x +18 : 10x +31 i z tego wychodzą mi kolejne 4całka 1/6 x³ +c 5 całka −41/200 x² +c 6 całka ∫ 1071 /1000 : 10x +31 (rozwiązuje )

cynamonek: 1/10 log (10x +31) +c

cynamonek: aa i razy te 1071 /1000

Basia: to jest odwrotnie x⁴−4x³+x²+14x−23 : (x³−x²−2x+18) = x−3 −x⁴+x³+2x²−18x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −3x³+3x²−4x−23 3x³−3x²−6x+54 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −10x+31

	−10x+31
= ∫(x−3)dx + ∫		dx
	x3−x2−2x+18

ale nie bardzo wiem co z tym dalej robić

PW: eee... Podziel na kartce.

cynamonek: aa no tak jakoś to robiłem. teraz to robić trzeba na ułamki proste

PW: O, już Basia zrobiła

cynamonek: tak ; p , czasami jak przepisuję tutaj to przez przypadek gubię cyferki albo znaki x)

cynamonek: racja basia pomyliło mi się

Basia: trzeba, ale ten mianownik jest paskudny; zastanawiałam się czy da się jakoś sensownie rozłożyć

cynamonek: Basiu ułatwię Ci troszkę sprawę jak mówiłem czasami źle przepisuję a ten przykład już robiłem i w pewnym momencie się zaciąłem w mianowniku jest 8 a nie 18

cynamonek: i ten mianownik ładnie się rozłoży od w (−2 )

Basia: no to będzie też zupełnie inne dzielenie

cynamonek: o dziwo nie x−3 i reszta 1

cynamonek: jak mianowiki rozbije 1/ (x+2)(x² −x −4 ) A/(x+2) + Bx +c/ (x² −x−4) ?

PW: Niech Cię diabli, cynamonek.

Basia: x³−x²−2x+8 = (x³+8)−(x²+2x) = (x+2)(x²−2x+4)−x(x+2) =(x+2)(x²−3x+2) = (x+2)(x−1)(x−2)

	A		B		C
i rozbijasz na		+		+
	x+2		x−1		x−2

Mariusz: Tutaj ładnie udało się rozłożyć ale wielomian trzeciego stopnia rozkładasz w ten sposób a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0 Rugujesz wyraz a₂x² (podstawieniem lub schematem Hornera) Stosujesz podstawienie y=u+v (Po wstawieniu y=u+v do równania zapisujesz równanie jako układ równań Układ równań przekształcasz tak aby był on wzorami Vieta dla równania kwadratowego) Metoda czysto algebraiczna wymaga znajomości liczb zespolonych jednak można zespolone ominąć korzystając z trygonometrii (wzór na sinus bądź cosinus potrojonego kąta) Po przekształceniu układu równań do wzorów Vieta dla równania kwadratowego zapisujesz równanie kwadratowe i sprawdzasz jego wyróżnik Jeśli wyróżnik jest nieujemny liczysz pierwiastki otrzymanego równania kwadratowego w przeciwnym razie sprowadzasz równanie do postaci wzoru na cosinus bądź sinus kąta potrojonego Pierwiastki wielokrotne mianownika możesz usunąć licząc NWD mianownika i jego pochodnej a następnie dzieląc mianownik przez obliczony NWD NWD możesz znaleźć bez rozkładu wielomianów na czynniki, wystarczy branie reszt z kolejnych dzieleń −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Gdy mianownik będzie miał pierwiastki wielokrotne to możesz wydzielić część wymierną całki

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

stopień L(x) < stopień M(x) stopień L₁(x) < stopień M₁(x) stopień L₂(x) < stopień M₂(x) M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) Za współczynniki liczników L₁(x) oraz L₂(x) przyjmujesz współczynniki literowe i obliczasz je różniczkując równość

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

Możesz też funkcję wymierną rozkładać na sumę ułamków prostych wtedy w przypadku wielokrotnych rzeczywistych pierwiastków całkujesz od razu a w przypadku wielokrotnych zespolonych pierwiastków ułamek prosty rozkładasz na sumę całek z których jedną liczysz podstawieniem za trójmian kwadratowy a w drugiej mianownik sprowadzasz do postaci kanonicznej i stosujesz wzór redukcyjny Miałeś wyprowadzanie wzorów redukcyjnych jako zastosowanie całkowania przez części ?

Mila:

	(x4 − 4*x3 + x2 + 14*x − 23)
∫		dx=
	(x3 − x2 −2*x +8)

	1
=∫(x−3)dx+∫		dx
	(x−2)*(x2−3x+4)

	1
∫		dx=
	(x−2)*(x2−3x+4)

1		A		Bx+C
	=		+
(x−2)*(x2−3x+4)		x−2		x2−3x+4

rozkładaj

Basia: (x−2)(x²−3x+4) = x³−3x²+4x−2x²+6x−8 = x³−5x²+10x−8 coś nie gra x³−x²−2x+8 = (x³+8)−(x²+2x) = (x+2)(x²−2x+4)−x(x+2) = (x+2)(x²−3x+4)

Mariusz: No tak ale gdy wyraz wolny będzie równy 18 to tak łatwo nie rozłoży Poza tym wydzielenie części wymiernej całki bądź wzór redukcyjny wkrótce mu się przydadzą Tam przy wydzielaniu części wymiernej całki powinno być M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) { Tej linijki w moim poprzednim wpisie zabrakło } Ciekawe jakie miał przykłady na całkowanie przez części

Mariusz: We wpisie z 8 lut 18:18 pomyliłaś się przy przepisywaniu wyrazu wolnego

Mila: No tak, masz rację Basiu. w(x)=(x³ − x² −2*x +8) x=−2 To rozkład: (x+2)*(x²−3x+4) Będzie całka:

	1
∫(x−3) dx+∫		dx
	(x+2)*(x2−3x+4)

Adamm: fajny sposób Mariusz, zapamiętam

Mariusz: Jeśli chodzi o rozkład mianownika to u Krysickiego (tom I str 140 § 8.3.) Trochę skrótowo przedstawione ale powinno być zrozumiałe dla licealisty

Mariusz: Adam wydzielenie części wymiernej całki znalazłem u Fichtenholza a sposób na równania trzeciego i czwartego stopnia u Sierpińskiego (wcześniej sposób na równania trzeciego stopnia znalazłem w szkolnej bibliotece) Adam http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/1342/zip/ Mam wątpliwości co do sposobu przedstawionego u Śniadeckiego Jakie jest twoje zdanie o tym podejściu do równania trzeciego stopnia ?

Mariusz: Układ równań liniowych powstały czy to po rozkładzie na sumę ułamków prostych czy to wydzielając część wymierną całki proponuję rozwiązywać z wykorzystaniem macierzy odwrotnej albo rozkładu LU bo gdy pomylimy się przepisując licznik nie będziemy musieli liczyć od początku Układ ten będzie jednoznaczny więc macierz odwrotna będzie istnieć Jeśli chodzi o rozkład LU to może być konieczny wybór elementu podstawowego Jeśli użyjemy rozkładu LU z wyborem elementu podstawowego to konieczne będzie wprowadzenie macierzy permutacji

Adamm: trochę ciężko się to czyta więc musisz poczekać zanim do tego dojdę

Mariusz: Adam masz u siebie Fichtenholza ? (trzy tomy , podstawy całkowania są w drugim) i zbiór zadań Krysickiego ? Jak chcesz sobie przypomnieć pewne rzeczy to te dwie pozycje mogą ci się przydać

Mariusz: Jeśli chodzi o tekst Sniadeckiego to jest on z konca 18 wieku i troche od tego czasu sie w polszczyznie zmienilo Chyba poya rownaniami trzeciego i czwartego stopia nie ma tam nic ciekawego

Adamm: Fichtenholza tak, Krysickiego nie mam widzę że ten sposób u Śniadeckiego jest taki sam jak "metoda Thomasa−Harriota" http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node127.html

Adamm: przypomina mi ona sposób z rozwiązywaniem równań 4 stopnia polegający na sprowadzeniu to różnicy kwadratów

Mariusz: Co do sposobu u Śniadeckiego to mam pewne wątpliwości co do jego poprawności dlatego chciałem abyś go zobaczył Mamy równanie postaci y³+py+q=0 y³=−py−q Chcemy usunąć z równania wyraz z y Wprowadzamy nową niewiadomą aby uzależnić od niej współczynnik przy y y³+3y²z+3yz²+z³=3y²z+3yz²+z³−py−q (y+z)³=y(3yz+3z²−p)+z³−q 3yz+3z²−p=0 3z(y+z)−p=0 3z(y+z)=p

	p
y+z=
	3z

	p
y=−z+
	3z

Wątpliwości co do poprawności pojawiają się już w drugiej linijce Czy aby na pewno wyrugujemy w ten sposób wyraz z y aby móc skorzystać z różnicy sześcianów Sam Śniadecki aby znaleźć pozostałe pierwiastki korzystał z dzielenia Chodzi mi o to że rozumowanie powinno nas doprowadzić raczej do wzoru skróconego mnożenia niż do podstawienia przypisywanego Harriotowi Jeśli chodzi o darmowe pozycje to do analizy mamy http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=15&wyd=10&jez=pl Gdy ja chodziłem do szkoły taka analiza jak u Kuratowskiego była w szkole średniej Skrypt Banacha usunęli już z sieci Z książek które mógłbym zaproponować to Rachunek różniczkowy i całkowy (G. M. Fichtenholz − trzy tomy) Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych (F. Leja) Analiza matematyczna w zadaniach (Krysicki Włodarski) Jako że analiza matematyczna wiąże się z algebrą to proponowałbym Elementy algebry wyższej (Mostowski Stark) Adam jak masz Fichtenholza to zajrzyj na stronę 33 w tomie II masz tam alternatywny sposób całkowania funkcji wymiernych który pozwoli uniknąć wzoru redukcyjnego i w pewnych sytuacjach będzie nawet nieco wygodniejszy w użyciu niż standardowy rozkład na sumę ułamków prostych Rozkład macierzy przydatny do rozwiązywania występujących tutaj układów równań opisany jest np tutaj http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN05