Zbiory nieskończone Hityn: Pokazać, że jeśli zbiór X jest nieskończony (tzn. nie jest równoliczny z żadnym zbiorem skończonym), to zawiera on podzbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych

Basia: albo jest przeliczalny i wtedy sam jest równoliczny z N albo nieprzeliczalny i wtedy jest równoliczny z R a ponieważ N⊂R to i ten zbiór musi zawierać jakiś podzbiór równoliczny z N

Hityn: Ok, a skąd wniosek, że nie ma innych zbiorów niż przeliczalny i nieprzeliczalny?

Basia: hipoteza continuum

Basia: https://pl.wikipedia.org/wiki/Hipoteza_continuum

Hityn: A jest sposób, żeby udowodnić to bez powoływania się na hipotezy?

Basia: szczerze mówiąc, tak od ręki, nie wiem

Hityn: Spoko, i tak dzięki wielkie Może przejdzie za pół punktu

Adamm: no nie nieprzeliczalny to nie znaczy równoliczny z R

Hityn: To jaki znasz zbiór nieprzeliczalny i nie równoliczne z R?

PW: Takiego "między tym a tym" nie ma, ale są "większe".

Adamm: skoro jest nieskończony, to zawiera w sobie podzbiór skończony o dowolnej mocy są to podzbiory X₁, X₂, X₃, X₄, ..., X_n, ... teraz z tych podzbiorów wybieramy elementy x₁∊X₁ x₂∊X₂, ale x₂≠x₁ (można to zawsze zrobić bo X₂ ma 2 elementy) x₃∊X₃, ale x₃≠x₂, x₁ (to też można zawsze, bo X₃ ma 3 elementy) itd. tak utworzony ciąg tworzymy w zbiór {x₁, x₂, ..., x_n, ...} który jest równoliczny z liczbami naturalnymi

Adamm: PW, nieprawda aksjomaty teorii zbiorów tego nie rozstrzygają można to założyć jako aksjomat albo jego zaprzeczenie

Basia: http://smurf.mimuw.edu.pl/node/639 Definicja 3.1 Zbiór nazywamy nieprzeliczalnym, gdy nie jest przeliczalny. Definicja 3.3 Mówimy, że zbiór jest mocy continuum, gdy jest równoliczny z R Hipoteza continuum: nie istnieje liczba kardynalna "między" alef_zero i continuum. Jeżeli więc zbiór nie jest przeliczalny musi mieć moc continuum ⇒ musi być równoliczny z R.

Adamm: zbiór podzbiorów R ma moc większą niż continuum, jest nieprzeliczalny Pozdrawiam

Adamm: i zazwyczaj "przeliczalny" znaczy równoliczny z N tobie chodzi o przeliczalny lub skończony

Basia: Każdy zbiór nieprzeliczalny jest mocy continuum.

Adamm: nie

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Cantora

Basia: przeliczalne mają moc alef_zero nieprzeliczalne continuum innych liczb kardynalnych nie znamy (może ktoś je kiedyś odkryje, niewykluczone, ale na dzień dzisiejszy własnie tak jest i tyle).

Adamm: ależ znamy

Adamm: 0, 1, 2, ... to są wszystko liczby kardynalne

Basia: to są liczby skończone; mowa jest o nieskończonych oczywiście nieścisłość: każdy zbiór przeliczalny nieskończony ma moc alef_zero

Adamm: 2^c, 2^2c, ... to są nieskończone też kardynalne

Adamm: poprawka |2^c|, |2^2c|, ...

Adamm: chociaż zobacz na to twierdzenie Cantora, bo naprawdę że nieprzyjemnie patrzy jak ktoś jest w błędzie, i próbuje mi jeszcze narzucać

Adamm: wikipedii chyba wierzysz?

Basia: Masz rację; przepraszam; nie wiem dlaczego ograniczyłam się zbiorem liczb R myślałam chyba tylko o zbiorach liczbowych tak jakby innych nie było choćby rodzina podzbiorów R

Adamm: w porządku, ważne że rozumiesz

Adamm: 17:16 jednak źle napisałem z tymi wartościami bezwzględnymi, wcześniej było ok