ciągi mmm: Równanie x+2x²+4x³+...=1, gdzie lewa strona równanie jest szeregiem geometrycznym zbieżnym, rozwiążemy nie korzystając ze wzoru na sume szeregu geometrycznego. 1Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego mamy 2xe(−1,1). Zatem dziedziną danego równania jest zbiór D=(−0,5;0,5) 2Zapisujemy dane równanie w postaci x+2x(x+2x²+4x³+...)=1 3 Stąd otrzymujemy równość x+2x=1 Moje pytanie jest do trzeciego punktu. Skąd to się bierze? dlaczego kasujemy nawias?

Mila: (x+2x²+4x³+...)=1 stąd: x+2x*1=1

mmm: Ale dlaczego równa się 1? Jak to dziala?

Janek191:

x
	= 1 x ≠ 0,5
1 − 2 x

x = 1 − 2 x 3 x = 1

	1
x =
	3

Janek191: a₁ = x q = 2 x więc lewa strona jest równa

	a1		x
S =		=
	1 − q		1 −2 x

Mila: W nawiasie masz takie samo wyrażenie jak w pierwszym równaniu po lewej.

mmm: oook, już kumam, dzięki

mmm:

	3		3		x
A jak w takim razie oblicyć w analogiczny sposób równanie 1+		+		+...=		.
	x		x2		3

	3
Jakoś nie mogę znaleźć sposobu. Próbowałam wyciągnąc		przed nawias albo wymnożyć przez
	x

	3
		i dopiero wyciągać ale nic mi nie wychodzi
	x

Mila:

	1
q=		, x≠0 i
	x

	1
|		|<1
	x

1<|x| x<−1 lub x>1

	3		3		3		x
1+(		+		+		+...)=
	x		x2		x3		3

	1		3		3		x
1+		*(3+		+		+...)=
	x		x		x2		3

	1		3		3		x
1+		*(2+1+		+		+...)=
	x		x		x2		3

	1		x		x
1+		*(2+		)=
	x		3		3

	2		1		x		x
1+		+		*		=
	x		x		3		3

	2		1		x
1+		+		=
	x		3		3

4		2		x
	+		−		=0 /*(3x)
3		x		3

4x+6−x²=0 i x∊D dokończ Lepiej tradycyjnie. x²−4x−6=0

Janek191:

3		3		x
	=		+ ... =		− 1
x		x2		3

	3
a1 =
	x

	1
q =
	x

Dla I q I < 1 mamy

a1		3     x		3   x		3
	=		=		=
1 − q		1   1 −   x		x −1     x		x −1

Mamy więc

3		x
	=		− 1
x −1		3

3		x − 3
	=
x −1		3

(x −1)*(x − 3) = 9 x² − 4 x + 3 − 9 = 0 x² − 4 x − 6 = 0 Δ = 16 − 4*1*(−6) = 40 √Δ = 2√10

	4 − 2√10
x =		= 2 − √10 lub x = 2 + √10
	2

	1		1		2 + √10		2 + √10
q =		=		*		=		⇒ I q I < 1
	x		2 −√10		2 + √10		−6

oraz

	1
q =		< 1 ok
	2 + √10

Janek191: Na początku miało być :

3		3		x
	+		+ ... =		− 1
x		x2		3

mmm: dzięki