Nierownosc Bernoulliego Krzysiek60: Udowodnij nierownosc ⋀n∊N ⋀a∊R a>−1 (1+a)ⁿ≥1+na n=1 zachodzi (1+a)¹≥1+a zalozenie n=k (1+a)^k≥ 1+ka Teza indukcyjna (1+a)^k+1≥1+(k+1)*a Opierajac sie na zalozeniu mamy wykazac ze zachodzi teza W tym celu pomnozmy nierownosc (1+a)^k≥1+ka obustronnie prza a+1 (a>−1 ⇒a+1>0 ) Mamy (1+a)^k(1+a)≥(1+ka)(1+a) czyli (1+a)ⁿ⁺¹≥1+ak²+a+ka≥1+ka+a = 1+k+1)a Przed tym zielonym to wymnozenie nawiasow a to zielone to skad ?

jc: Tam powinno być ka², a nie ak². Jak pominiesz ten składnik, będziesz miał tyle samo lub mniej.

Krzysiek60: Dobrze jc A dlaczego mam go pomijac ?

iteRacj@: Zielona suma jest tak wybrana, żeby dawała nierówność prawdziwą i jednocześnie pozwalała uzyskać drugą część tezy indukcyjnej. Nierówność 1+ak²+a+ka≥1+ka+a jest prawdziwa, gdyż dla ⋀n∊N ⋀a∊R a>−1 ak²≥0 sprawdźmy to : ak²≥0 // +(1+ka+a) dodajemy stronami ak²+1+ka+a≥1+ka+a

iteRacj@: ja też przekręciłam ak² zamiast a^k

iteRacj@: zamiast a²k

Krzysiek60: Chyba zycie bez tego bedzie piękniejsze . Dziekuje za probe wyjasnienia .

iteRacj@: a co jest niejasne w tej chwili? zmieniam to a²k nierówność 1+a²k+a+ka≥1+ka+a jest prawdziwa, gdyż dla ⋀n∊N ⋀a∊R a>−1 a²k≥0 sprawdźmy to : a²k≥0 // +(1+ka+a) dodajemy stronami a²k+1+ka+a≥1+ka+a czyli (1+a)^k+1≥a²k+1+ka+a≥1+(k+1)a

Krzysiek60: Wszystko jasne . Tylko koniec z indukcja .

iteRacj@: nie rezygnuj, tego się nie da nauczyć w pięć minut, więc trzeba zrobić kilka, czasem kilkanaście przykładów ćwiczyć i próbować, to zawsze daje efekty