Indukcja Satan: Indukcyjne dowodzenie, że 2ⁿ ≥ n² dla n ≥ 4 Więc, niech dla k ∊ ℕ zachodzi 2^k ≥ k² Wtedy dla k + 1 zachodzi: 2^{k + 1} ≥ (k + 1)² Lewa: 2^{k + 1} = 2*2^k ≥ 2*k² 2*k² ≥ (k + 1)² ⇒ k² ≥ 2k + 1 I teraz pytanie − co dalej? Dopiero zaczynam i jeszcze nie bardzo wiem jak

jc: Na czym polega dowód indukcyjny? Masz pokazać dwie rzeczy. 2⁴ ≥ 4² (faktycznie tak jest) oraz implikację Jeśli 2ⁿ ≥ n², to 2ⁿ⁺¹ ≥ (n+1)². No bierz się za dowód implikacji.

PW: 2k²≥(k+1)²⇔2k²−k²−2k−1≥0⇔k²−2k−1≥0⇔(k−(1−√2)(k−(1+√2))≥0 Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich dodatnich k≥1+√2, w szczególności dla naturalnych k≥4.

Satan: Dobra, zapomniałem o najważniejszym − nie musi być spełnione od razu. Jeszcze nad tym popracuję, dziękuję!