prosta Adamus: Dana jest prosta krawedziowa: 2x −y +z= 3 , x− 3y + 3z = 4 Obliczyc odleglosc punktu A(1,1,1) od tej prostej .

Pytający: https://www.matematyka.pl/238339.htm u=(2,−1,1)×(1,−3,3)=(0,−5,−5) // wektor kierunkowy podanej prostej Szukamy punktu na prostej: 2x −y +z= 3 x− 3y + 3z = 4 // pierwsze − 2 razy drugie 0x+5y−5z=−5 ⇒ y=z−1 Weźmy z=1 ⇒ y=0 ⇒ x=1. P₀=(1,0,1) v=AP₀=(1−1,0−1,1−1)=(0,−1,0)

	|v×u|		|(0,−1,0)×(0,−5,−5)|		|(5,0,0)|		1
d=		=		=		=
	|u|		|(0,−5,−5)|		|(0,−5,−5)|		√2

jc: Proponuję coś innego. Płaszczyzna prostopadła do prostej, przechodząca przez (1,1,1). x=1+2s+t y=1−s−3t z=1+s+3t Przecięcie z prostą (wstawiamy do równań płaszczyzn). 2(1+2s+t)−(1−s−3t)+(1+s+3t)=3 (1+2s+t)−3(1−s−3t)+3(1+s+3t)=4 6s+8t=1 8s+19t=3 s=−1/10, t=1/5 v = (0, −1/2, 1/2) d = 1/√2

Adamus: Dziekuje , ale rownanie prostej w postaci ogolnej to : x + y − z = 0 Czyli odleglosc punktu A(1,1,1)

	| 1*1 +1*1 −1*1 +0|
d=		= 1/√3
	√ 12 + 12 + (−1)2

Gdzie jest blad ? ?

Pytający: x + y − z = 0 to równanie płaszczyzny, nie prostej. x=t, y=s, z=t+s https://www.wolframalpha.com/input/?i=ParametricPlot3D%5B%7Bt,s,t%2Bs%7D,%7Bt,-100,100%7D,%7Bs,-100,100%7D%5D Prosta z Twojego zadania: x=1, y=t−1, z=t https://www.wolframalpha.com/input/?i=ParametricPlot3D%5B%7B1,t-1,t%7D,%7Bt,-100,100%7D%5D

Adamus : Ale prosta w postaci parametrycznej : x =1 ; y = t −1 ; z= t mozna sprowadzic do postaci ogolnej : i wychodzi : x+y−z = 0

Pytający: Postać ogólna prostej w ℛ³... znaczy jaka postać?

Adam0: (x, y, z)•(1, 1, 1)=x+y+z=0 mamy układ równań x+y+z=0 2x−y+z=3 x−3y+3z=4

Adam0: nie przemyślałem tego dobrze, tak rzuciłem pomysłem

Pytający: Rzucać pomysłami jest sens, ale jeśli objaśnisz, na czymże ten Twój pomysł miał polegać. Wtedy łatwiej wskazać błąd w rozumowaniu, jeśli ów pomysł okazał się być jednak błędnym. "(x, y, z)•(1, 1, 1)=x+y+z=0" Spróbuj wyjaśnić: po co to liczysz i jakie wyciągasz z tego wnioski?

Adamus : W tresci zadania podane jest rownanie krawedziowe okreslone przez dwie plaszczyzny , wyznaczylem na tej podstawie rownanie prostej w postaci parametrycznej x= 1 ; y = −1 −5t ; z= −5t , i na tej podstawie otrzymalem rownanie prostej : x+ y − z= 0 Kolega @Pytajacy napisal , ze jest to rownanie plaszczyzny , ale jakiej ? Mnie uczono , ze rownanie plaszczyzny w R³ zapisujemy w postaci ogolnej : Ax +By+Cz+D = 0 oraz rownanie prostej w R³ : Ax+By +Cz +D = 0 , czy to jest blad ? ?

Pytający: Hmmm, nie zastanowiło Cię, że równania płaszczyzny i prostej są identyczne? Ax +By+Cz+D=0 to równanie ogólne płaszczyzny. Nie prostej. O równaniu ogólnym prostej w ℛ³ nie słyszałem. W ℛ² owszem jest, Ax+By+C=0. W ℛ³ możesz mieć co najwyżej równanie prostej jako układ dwóch równań ogólnych płaszczyzn, ale to właśnie jest równanie krawędzie prostej. http://www.profesor.pl/mat/pd5/pd5_e_szuminska_3_20050411.pdf To, że układ x=1, y=−1−5t, z=−5t spełnia równanie x+y−z=0 dla t∊ℛ znaczy jedynie tyle, że każdy punkt tej prostej należy do tej płaszczyzny (znaczy ta prosta zawiera się w tej płaszczyźnie). Jednak w drugą stronę to nie działa, przykładowo punkt (2,0,2) należy do płaszczyzny x+y−z=0, ale nie należy do prostej x=1, y=−1−5t, z=−5t.

Mila: Właśnie też mnie zastanawia to równanie prostej (x+y−z=0 ) już drugi raz pojawia się ten problem.

Adamus: No wlasnie Pani @Mila jest dobra z geometrii niech rozwazy ten problem , bo pare razy z tym sie spotkalem .

Adam0: x+y−z=0 to płaszczyzna co najwyżej może tą prostą zawierać

Mila: Zastanawia mnie dlaczego studenci wstawiają tak sformułowane zadanie. Dla mnie to jest równanie płaszczyzny. Już pisałam gdzieś tam.

Pytający: Problemem jest to, że ktoś nazywa to równanie (x+y−z=0) równaniem prostej, podczas gdy to nie jest równanie prostej (to równanie płaszczyzny). To jak nazywać kota psem (czy też na odwrót) − można, ale sensu w tym niewiele.