Dwumian Newtona laki: Dwumian Newtona Witam, może ktoś nakierować jak tu znaleźć n? Treść zadania: W rozwinięciu dwumianu (2+x)ⁿ współczynnik przy x³ równy jest 40. Znaleźć n.

Satan: Może trójkątem Pascala?

jc: Dobra podpowiedź.

	5 3
25−3		=4*10=40

laki: Próbowałem to zapisać jako (n!)/(3!(n−3)!)=40. Ale n wychodziło mi 7.2681 Teraz spróbuję rozpisać ten trójkąt Pascala

laki: Skąd wziąłeś 5−3?

laki: metodą prób i błędów czy jest jakiś sposób na to? bo tak od razu, to tego nie widzę

laki: Może to ktoś wytłumaczyć ?

Pytający:

	n 3
2n−3		=40

2ⁿn(n−1)(n−2)=40*2³*3!=2⁷*3*5 Stąd jedyna możliwość to n=5, n−2=3. Sprawdzasz, równość faktycznie zachodzi.

laki: Dziękuję

Stud: Pytający, możesz to trochę bardziej rozpisać, mam duży problem z tym przykładem

Stud: albo ktokolwiek ?

Pytający: Łap:

	n 3
2n−3		=40

2n		n!
	*		=5*8
23		3!(n−3)!

2n		n(n−1)(n−2)(n−3)!
	*		=5*23
23		2*3*(n−3)!

2ⁿn(n−1)(n−2)=5*2³*2³*2*3 2ⁿn(n−1)(n−2)=2⁷*3*5

Stud: Dziękuję, a z jakiego założenia mam wiedzieć że to akurat 5 ? i skąd równanie n−2=3 ?

Pytający: Po lewej i po prawej stronie równania masz iloczyny. Po prawej masz rozłożone na czynniki pierwsze. Znaczy jeśli jest rozwiązanie, to lewa strona też musi być podzielna przez 2⁷, przez 3 i przez 5. Oczywiście 2ⁿ nie jest podzielne przez 3 ani przez 5, stąd wniosek, że n(n−1)(n−2) musi być podzielne przez 3*5. Jako że to trzy kolejne liczby naturalne, jedyna potencjalna możliwość to 3,4,5.

Stud: Dziękuję bardzo

Pytający: Proszę bardzo.