Całka oznaczona Smazony: Witam, mam problem przy wyliczeniu takiej oto całki oznaczonej od −3 do 3: ∫2√x²+y²dy Próbowałem już wyliczyć ją przez podstawienie, również poprzez zamianę pierwiastka na potęgę, ale wtedy wychodzi mi ciężkie do wyliczenia działanie przy wyliczaniu zakresu całki:

4		4
	(x2+32)3/2−[		(x2+{−3}2)3/2] = ?
3		3

Mariusz: Próbowałeś podstawienia √x²+y²=t−y

Smazony: Witaj, przepraszam ale nie do końca rozumiem jak to podstawienie zastosować. Po "mojemu" przy podstawieniu za pierwiastek wychodzi po wyliczeniu pochodnej dość skomplikowany wynik Mógłbyś rozwinąć swoją myśl?

Smazony: Chyba że to chodzi o wzór B01 stąd: https://pl.wikisource.org/wiki/Ca%C5%82ki_funkcji_niewymiernych

Smazony: Dobra, próbuję to rozwiązać Eulerem, mam nadzieje że się uda

Mariusz: Uda się , po zastosowaniu tego podstawienia (pierwszego Eulera ) oraz liniowości dostaniesz całkę z potęgi czyli coś co można liczyć w pamięci Zastosowanie drugiego podstawienia Eulera √x²+y²=yt+x wymagałoby zastosowania wzoru Ostrogradskiego na wydzielenie części wymiernej całki albo pewnych redukcji więc pierwsze podstawienie Eulera będzie lepszym pomysłem To co wygrzebałeś to gotowy wynik całki nieoznaczonej więc wątpię aby ci zaakceptowali

Mariusz: Jak to podstawienie zastosować ? √x²+y²=t−y Wyznaszasz z powyższego y jako funkcję zmiennej t Różniczkujesz funkcję y(t) Przedstawiasz √x²+y² jako funkcję zmiennej t Wstawiasz wszystko do całki Jeśli chodzi o pomysł na całki ∫R(x,√ax²+bx+c)dx to gdy a>0 stosujesz podstawienie √ax²+bx+c=t−√ax gdy a<0 to możesz założyć że b²−4ac>0 , w przeciwnym razie trójmian kwadratowy przyjmowałby tylko wartości ujemne i musielibyśmy wejść w zespolone Przedstawiasz trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej i stosujesz podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Jest jeszcze jedno podstawienie które czasem daje całkę która wymaga nieco mniej obliczeń √ax²+bx+c=xt+√c , gdy c>0