Monotoniczność funkcji i ekstrema Abcdfsdhgad: Zbadaj monotoniczność funkcji i wyznacz ekstrema lokalne (o ile istnieją) a) f(x) = (1+x²)e^x Z tego wychodzi mi pochodna f'(x) = e^x(1+x²) Miejsca zerowe: e^x=0 1+x²=0 sprzeczność x = −1 Wykres funkcji będzie parabolą (skierowana do góry) z −1 w pustym kółku. Tutaj odpadam i nie wiem co dalej robić żeby wyliczyć monotoniczność i ekstrema, ktoś pomoże? I ewentualnie sprawdzi czy to co wyżej jest dobrze policzone? Jutro 3 termin, przydałaby się pomoc, z góry dzięki!

Vobro: Pochodnej wgl nie policzyłeś f(x)=(1+x²)e^x=e^x+x²e^x f'(x)=e^x+2xe^x+x²e^x I teraz liczysz miejsca zerowe

Abcdfsdhgad: Przecież podałem Ci rozwiązanie pochodnej, ona wychodzi z wyciągnięcia e^x przed nawiam i skrócenia tego co zostało do wzoru skróconego mnożenia, czy to błędne?

Abcdfsdhgad: e^x + 2xe^x +x²e^x to jest to samo co e^x(1 +2x +x²), tak? Z tego wychodzi e^x(1+x²)?

Abcdfsdhgad: Czy ktoś coś?

azeta: f(x)=(1+x²)e^x f'(x)=2xe^x+(1+x²)e^x=e^x(x²+2x+1)=e^x(x+1)²

Abcdfsdhgad: Dziękuję, ale to już mam obliczone przecież.

azeta: masz zrobione w ten sposób 1+x²=0 x=−1 to jest błąd 1+2x+x²≠1+x², a (x+1)² faktycznie wtedy miejscem zerowym pochodnej jest x=−1 (podwójnym), tak jak napisałeś/aś, parabola skierowana do góry.a zatem wniosek jest prosty − pochodna nie zmienia tam znaku, nie ma wtedy ekstremum. co do monotoniczności, musisz zbadać znak pochodnej w całej dziedzinie. tam gdzie f'(x)<0 to f(x) jest malejąca, gdzie f'(x)>0 to jest rosnąca, =0 to stała.

Abcdfsdhgad: Ups, rzeczywiście, zjadłem tam nawias przy obliczaniu m. zerowego. Czy w takim razie rozwiązaniem będzie funkcja rośnie w przedziale (−∞;−1) oraz (−1;+∞)? Czyli nie ma żadnego ekstremum i nigdzie nie maleje? Czy gdzieś źle rozumuję?

Abcdfsdhgad: Wróć, czy powinno być, że jest malejąca (−∞,−1) oraz rosnąca od (−1;+∞)? Czy −1 nie jest zatem minimum lokalnym?

Abcdfsdhgad: Up, dodatkowo miałbym pytanie dla dobrej duszy, czy dziedziną funkcji x*e do potęgi (x²−3x+1) jest zbiór liczb rzeczywistych poza 0?

iteRacj@: xe^{x² − 3x + 1} D=R, dlaczego zero odrzucasz?

iteRacj@: co do tej pierwszej funkcji f'(x)=(1+x²)e^x f'(x)=(x+1)²*e^x to ze pochodna przyjmuje wartość zero dla x=−1 oznacza, że w tym punkcie podejrzewamy albo ekstremum albo punkt przegięcia

iteRacj@: tak jak pisze azeta pierwsza pochodna nie zmienia dla x=−1 znaku ⇒ nie ma wtedy ekstremum druga pochodna sie zeruje dla x=−1, a to oznacza że ⇒ jest tam punkt przegięcia

iteRacj@: to co piszesz o 23:56 czy pierwsza pochodna jest malejąca (−∞,−1) oraz rosnąca od (−1;+∞) nie ma znaczenia dla badania ekstremów ważne jest czy zmienia znak z ujemnej na dodatnią lub odwrotnie

Abcdfsdhgad: Ale w poleceniu mam zbadac także monotonicznosc, więc chyba muszę podać gdzie maleje i rośnie? Dzięki za odpowiedź swoją drogą.

iteRacj@: jeśli masz zbadać monotoniczność, to napisz że pierwsza pochodna jest nieujemna w całej swojej dziedzinie, więc funkcja f(x) jest rosnąca w całej dziedzinie druga pochodna zmienia znak, więc funkcja f(x) ma punkt przegięcia i podaj jej wypukłość

iteRacj@: jak masz w poleceniu ekstrema, to napisz, że funkcja nie ma ekstremów lokalnych

iteRacj@: ale na kolokwium będzisz mieć inną funkcję niż ta tutaj, więc pierwsza pochodna może zmieniać znak i wtedy podajesz, w jakich przedzaiłach jest dodatnia, ujemna wyznaczasz ekstrema lokalne wyjściowej funkcji i podajesz przedziały, w których wyjsciowa funkcja rośnie i maleje

Abcdfsdhgad: Dziękuję Ci bardzo z pomoc, teraz muszę trochę poćwiczyć te podstawowe twierdzenia, bo gdzieś w tym coś widzę, ale nie do końca i gubię się tworząc dziwne rzeczy. Raz jeszcze dzięki i miłego dnia