nierówność słonik: 1.Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek a+b+c=1, prawdziwa jest nierówność ¹_a + ¹_b + ¹_c⩾9

adam: nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną

Adam0: v=(√a, √b, √c), w=(1/√a, 1/√b, 1/√c) nierówność Schwarza (v•v)(w•w)≥|(w•v)|² (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9

słonik: może jestem za głupi...ale mogli byście rozpisać mi krok po kroku?

Adam0: mamy 2 wektory w R³, funkcję • nazywaną iloczynem skalarnym R³xR³→R zdefiniowaną wzorem (x₁, x₂, x₃)•(y₁, y₂, y₃)=x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃ oraz twierdzenie o nazwie "nierówność Schwarza" które mówi że taka nierówność jak powyżej zachodzi

Mila: a>0 i b>0 i c>0

	a		b
1)		+		≥2
	b		a

a+b+c=1

	1		1		1
L=(a+b+c)*(		+		+		)=
	a		b		c

a

a

b

b

c

c

=1+

+

+

+1+

+

+

+1= porządkujemy odpowiednio:

b

c

a

c

a

b

a

b

a

c

b

c

=3+(

+

)+(

+

)+(

+

)≥3+2+2+2=9

b

a

c

a

c

b

cnw

słonik: Dziękuję bardzo....jak na moje zdolności poznawcze rozwiązanie z przekrztałceniami bardziej mnie przekonuje

słonik: wektory w 3d mnie przerastają

Adam0: no trudno, nie ma ludzi idealnych

słonik: a skąd wynika ^a_b+^b_a≥2

iteRacj@: @Adam0 ani wiedza o wektorach w R³ ani o nierówności Schwarza nie przybliży człowieka do bycia idelanym, skąd taki pomysł?

słonik: odnośnie nierówności już nieważne

iteRacj@: ale bycie idealnym nadal może być celem...

Adam0: cóż, moja definicja człowieka idealnego widocznie jest inna

Eta:

iteRacj@: warto mieć cele i je realizować a każdy ma inne, ale tak jest lepiej