Pierwiastki równania dede: wykaż że równanie x⁵ − 5x³ +3=0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste w przedziale <−3,2>

PW: Pewnie trzeba zastosować tw. Darboux. Jeżeli znasz, to zacznij.

PW: Można też liczyć pochodną i badać, czy nie ma w tym przedziale ekstremów − to by ułatwiło.

dede: Funkcja jest ciągła jako funkcja elementarna. Sprawdzam znaki wartości,jakie przyjmuje na końcach przedziału: f (−3)=−105<0 i f(2)=−5<0 czyli w tym przedziale nie ma co najmniej jednego pierwiastka. Muszę teraz zawęzić poszukiwania, rozbijam przedział na <−3,−1>, <−1,2> wtedy f(−1)=7>0, więc zarówno w tym jak i drugim przedziale jest po co najmniej jednym pierwiastku. Moje pytanie brzmi: jak uzasadnić, że znajdują się tam dokładnie 2 pierwiastki?

Adam0: W(x)=x⁵−5x³+3 W(−3)<0, W(0)>0, W(2)<0 W(x)→∞ przy x→∞ musimy mieć pierwiastek między −3 a 0, między 0 a 2, i >2 z reguły znaków Kartezjusza mamy co najwyżej 3 pierwiastki, więc są tam pojedyncze pierwiastki

PW: Nie można stwierdzić, że z nierówności f(−3)<0 i f(2)<0 wynika, że w tym przedziale nie ma pierwiastka. Sam dalej piszesz, że po rozważeniu/ mniejszych przedziałów tw. Darboux daje efekt. Spróbuj obliczyć pochodną i wyciągnąć wnioski o monotoniczności na pewnych przedziałach.

dede: Wiem tyle, że pochodna f^'(x) = 5x⁴ − 15x², pochodna jest dodatnia w przedziałach (−3,−√3), (√3,2) oraz ujemna w (−√3,0), (0, √3) czyli w <−3,2> pochodna dwa razy zmienia znak, tzn są dwa ekstrema.

PW: No i narysuj wykres f na [−3, 2].