Wykaż istnienie pierwiastka dede: Wykaż, że równanie x⁹⁹ + x⁹ + 9x + 9 =0 ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.

Mila: f(x)=x⁹⁹ + x⁹ + 9x + 9 f'(x)=99x⁹⁸+9x⁸+9>0 dla każdego x∊R⇔ f(x) jest funkcją rosnącą lim_x→±∞f(x)=±∞ Wykres przecina oś x−ów w jednym punkcie.

the foxi: niech f(x)=x⁹⁹+x⁹+9x+9 wtedy f'(x)=99x⁹⁸+9x⁸+9=9(11x⁹⁸+x⁸+1) f'(x)>0 ⇔ x∊ℛ wynika z tego, że f(x) jest stale rosnące a skoro to funkcja wielomianowa nieparzystego stopnia, przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste dokładnie jeden raz

dede: Bardzo Wam dziękuję!

the foxi:

jc: Bez pochodnych. Funkcja jest sumą funkcji rosnących i funkcji rosnącej, a więc jest funkcją rosnącą. f(−1)<0, f(0)>0, więc jako funkcja ciągła ma pierwiastek.

dede: Chciałem to zrobić z twierdzenia Darboux, ale przedstawione sposoby wydają się być rozsądniejsze! Skoro już jesteście, to mógłbym prosić o zerknięcie na moje poprzednie zadanie? https://matematykaszkolna.pl/forum/368506.html

jc: Miało być funkcja jest sumą funkcji rosnących i funkcji stałej. Stwierdzenie, że wielomian stopnia nieparzystego przyjmuje wszystkie wartości jest wnioskiem z ogólniejszego twierdzenia (jedni mówią Darboux inni Bolzani). Ale oczywiście powołanie się na własność wielomianu jest tak samo dobre (a nawet lepsze, bo nie wymienia się nazwisk).