Twierdzenie Darboux'a Whale: Korzystając z Tw. Darboux'a i własności funkcji ciągłych, udowodnić, że istnieje punkt c należący (−√3, √3 ) taki, że f(c) = ^4π₅ gdzie f(x) = x² * arctgx. Ile jest takich punktów? 1. Stwierdzam, że f(x) jest ciągłą, ponieważ jest złożeniem funkcji ciągłych 2. Liczę wartość funkcji w −√3 i √3 (odpowiednio −π i π) 3. Z Tw. Darboux'a wiem, że istnieje punkt c taki, że f(c) = ^4π₅ na tym przedziale. Czy dobrze zacząłem robić? Jak teraz sprawdzić ile jest takich punktów?

iteRacj@: sprawdź, czy funkcja jest ściśle monotoniczna w tym przedziale

Whale: Rozumiem, że trzeba policzyć pochodną

	x2
f'(x) = 2x arctg(x) +
	x2+1

Tylko mam problem z rozwiązaniem tego, aby określić gdzie pochodna jest dodatnia, a gdzie ujemna (aby wyznaczyć gdzie moja funkcja f(x) jest rosnąca/malejąca)

iteRacj@: na szczęście drugi składnik jest zawsze dodatni i już łatwiej

iteRacj@: oj nie tak łatwo, w tym przedziale nieujemny...

Whale: Czyli w przedziale (−√3 , 0 ) f'(x) > 0 oraz (0, √3) f'(x) > 0, bo po odpowiednim podstawieniu −p{3] i √3 uzyskuje wartości dodatnie? A można argumentować tak, że pierwszy składnik jest rosnący na tym przedziale (jest rosnący tak naprawdę w całej swojej dziedzinie) i dodajemy do niego coś zawsze dodatniego, więc będzie rosnące?

iteRacj@: dla x=0 pierwszy i drugi składnik są równe zero czyli pochodna jest nieujemna w (−√3, √3 )⇒ funkcja jest niemalejąca w (−p{3], √3 ), w zerze ma punkt przegięcia funkcja tylko raz osiąga wartość f(c)