Szereg o wyrazach ujemnych Mika: ∑sin(n³) zbadać zbieżność tego szeregu. Czy tutaj mam tylko napisać, że nie spełnia warunku koniecznego lim sin(n³)=0 ?

Adam: tak

jc: sin n nie jest zbieżny (potrafię to pokazać). Czy potrafisz pokazać, że sin n³ nie jest zbieżny do zera? (pewnie nie jest)

Adam: załóżmy że sin(n³) → 0 wtedy sin((n+1)³)cos(n³)−sin(n³)cos((n+1)³) = = sin(3n²+3n+1) → 0 sin(3(n+1)²+3(n+1)+1)cos(...)−sin(...)cos(...)= = sin(6n+4) → 0 sin(6(n+1)+4)cos(...)−sin(...)cos(...)= = sin(6) → 0 sin6 dąży do 0? tak samo można byłoby wykazać że sin(n^k) nie dąży do 0

jc: Adam, bardzo ładnie, zapamiętam

Adam: załóżmy że sin(n^k)→sinα, −π/2≤α≤3π/2 dla k≥1 wtedy sin(n^k)−sinα=2sin((n^k−α)/2)cos((n^k+α)/2) teraz istnieje taki ciąg p_n liczb naturalnych że −π/2≤n^k−2p_nπ<3π/2 n^k−2p_nπ może mieć co najwyżej 2 punkty skupienia, α oraz π−α dla podciągu n₁ odpowiadającemu α mamy sin(n₁^k−α)=sin(n₁^k−α−2p_n1π) → 0 ale rozumując jak powyżej nie może dążyć do 0 dla podciągu n₂ odpowiadającemu π−α sin(n₂^k+α)=sin(n₂^k−2p_n2+α) → 0 rozumując jak powyżej ten ciąg też nie może czyli n^k−2p_nπ nie może mieć punktów skupienia, sprzeczność czyli sin(n^k) nie ma granicy

Adam: drugą linijkę napisałem kiedy jeszcze myślałem nad tym nic ona nie wnosi