pomocy :C cynamonek: Całka z ^{27x2 − 54x +25} _{x³ −3x +2}

Basia: Podziel licznik przez mianownik.

cynamonek: licznik przez mianownik ? jak licznik jest mniejszym wielomianem niż mianownik

cynamonek: ale to raczej mi nic nie da?

Basia: Widzę tylko −3x+2 Tam coś jeszcze jest? Co?

Pytający: x³−3x+2=(x−1)²(x+2)

27x2−54x+25		A		B		C
	=		+		+
x3−3x+2		x−1		(x−1)2		x+2

...

cynamonek: dzięki wpadłem na to potem dzięki

Mariusz: Coś co może ci się przydać

	27x2−54x+25		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	x3−3x+2		M1(x)		M2(x)

M(x)=x³−3x+2 M'(x)=3x²−3 M₁(x)=GCD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) Aby obliczyć NWD wielomianów nie musimy znać rozkładu mianownika na czynniki Na ogół znalezienie takiego rozkładu może być kłopotliwe 1/3x x³−3x+2 : 3x²−3 x³−x −2x+2 −3/2x −3/2 3x²−3 : (−2x+2) 3x²−3x 3x−3 3x−3 0 Ostatnia niezerowa reszta to nasze NWD zatem GCD(M(x),M'(x))=−2x+2=−2(x−1) Stały czynnik możemy pominąć więc GCD(M(x),M'(x))=x−1 x²+x−2 x³−3x+2 : x−1 x³−x² x²−3x x²−x −2x+2 −2x+2 0 M₁(x)=x−1 M₂(x)=x²+x−2 deg L₁(x)< deg M₁(x) deg L₂(x)< deg L₂(x) Stopnie liczników są mniejsze niż stopnie odpowiadających im mianowników Za współczynniki liczników przyjmujesz współczynniki literowe i różniczkujesz następującą równość aby te współczynniki obliczyć

	27x2−54x+25		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	x3−3x+2		M1(x)		M2(x)

	27x2−54x+25		A		Bx+C
∫		dx=		+∫		dx
	x3−3x+2		x−1		x2+x−2

27x2−54x+25		A		Bx+C
	=−		+
x3−3x+2		(x−1)2		x2+x−2

27x2−54x+25		A(x+2)		(Bx+C)(x−1)
	=−		+
x3−3x+2		x3−3x+2		x3−3x+2

x+2 x³−3x+2 : x²−2x+1 x³−2x²+x 2x²−4x+2 2x²−4x+2 0 27x²−54x+25=−A(x+2)+(Bx+C)(x−1) 27x²−54x+25=−Ax−2A+Bx²−Bx+Cx−C 27x²−54x+25=Bx²+(C−A−B)x−2A−C B=27 C−A−B=−54 −2A−C=25 B=27 −A+C=−27 −2A−C=25 B=27

	2
A=
	3

	79
C=−
	3

2(x−1)+(x+2)=3x (x+2)−(x−1)=3

	27x2−54x+25		2	1		1		81x−79
∫		dx=			+		∫		dx
	x3−3x+2		3	x−1		3		x2+x−2

	27x2−54x+25		2	1		1		81x−81+2
∫		dx=			+		∫		dx
	x3−3x+2		3	x−1		3		(x−1)(x+2)

	27x2−54x+25		2	1		1		2		1
∫		dx=			+27∫		dx+		∫		dx
	x3−3x+2		3	x−1		x+2		3		(x−1)(x+2)

	27x2−54x+25		2	1		1
∫		dx=			+27∫		dx+
	x3−3x+2		3	x−1		x+2

	2		(x+2)−(x−1)
		∫		dx
	9		(x−1)(x+2)

	27x2−54x+25		2	1		1		2		1
∫		dx=			+27∫		dx+		∫		dx
	x3−3x+2		3	x−1		x+2		9		x−1

	2		1
−		∫		dx
	9		x+2

	27x2−54x+25		2	1		241		2
∫		dx=			+		ln|x+2|+		ln|x−1|+C
	x3−3x+2		3	x−1		9		9

Tutaj powyższy sposób niewiele uprościł ale już wkrótce ci się przyda