całka Kamil: ∫ ln²x−ln⁴x da się to jakoś inaczej zrobić, niż liczyć przez części 4 razy?

kochanus_niepospolitus: przez części ... ewentualnie 'zgaduj zgadula'

kochanus_niepospolitus: czyli: F(x) = xln⁴x + 'coś' ; F' = ln⁴x + 4ln³x no to F(x) = xln⁴x − 4xln³x + 'cośx' ; F' = ln⁴x + +4ln³x − 4ln³x − 12ln²x no to F(x) = xln⁴x − 4xln³x + 12xln²x + 'cośx' ; F' = ln⁴x + +4ln³x − 4ln³x − 12ln²x + 12ln²x + 24lnx no to F(x) = xln⁴x − 4xln³x + 12xln²x − 24xlnx ; F' = ln⁴x + +4ln³x − 4ln³x − 12ln²x + 12ln²x + 24lnx − 24lnx − 24 no to ostatecznie będzie F(x) = xln⁴x − 4xln³x + 12xln²x − 24xlnx + 24x metoda szybsza, ale tylko jeżeli wiesz w jakim kierunku masz iść (a do tego potrzebne jest doświadczenie) i wątpię by sprawdzający taką metodę uznał

Basia: Przez części nie pójdzie. Podstawienie t=lnx

	1
dt =		dx
	x

dx=xdt x=e^t i mamy całkę ∫ e^−t(t²−t⁴)dt teraz można przez części

kochanus_niepospolitus: Basiu ... toć rozdzielamy na dwie całki ∫ln²x dx − ∫ln⁴x dx na początku (dla mnie to było logiczne ).

Basia: A dobrze. Nie i to mi chodziło. u=ln²x. v'=1

Basia:

Adam: dla k≥1 I_k=∫(lnx)^kdx=x(lnx)^k−k∫(lnx)^k−1dx=x(lnx)^k−kI_k−1 prosty wzór rekurencyjny

Adam: ∫ln⁴xdx=x(lnx)⁴−4x(lnx)³+4*3x(lnx)²−4*3*2xlnx+4!x+c łatwo zauważyć jaki będzie wzór ogólny