Liczby zespolone ktoś : z²=z^* gdzie z^* to sprzężenie: Doszedłem do tego, że |z| = 0 lub |z| = 1 |z| = 0 ⇒ z=0 A z |z| = 1 mam problem: |z| = 1 ⇒ a²+b² = 1 Podstawiam do równania początkowego: Z (a+b)² = a−bi dostajemy: (2a²−a−1) + i(2ab+b) = 0 Więc 2a²−a−1 = 0 2ab+b = 0 I wychodzi mi a = 1 v a = −1/2 z a = 1 mam b = 0 z a = −1/2 mam 0b = 0 I to nie zgadza się z rozwiązaniem

ktoś : Można oczywiście robić inaczej z użyciem Moivrea ale nie wiem czemu mi ten sposób nie działa

Adamm: z²=z^* teraz tak |z|²=|z| stąd |z|=1 lub |z|=0 jeśli |z|=0 to z=0 jeśli |z|=1 to z=e^iφ dla pewnego φ∊ℛ e^2iφ=e^−iφ e^3iφ=1 3φ=2kπ, k∊ℤ φ=2kπ/3 czyli z=0 lub z=e^2kπ/3 dla k∊ℤ

Adamm: o ile nie każą ci zapisywać w jakiś dziwnych postaciach to ten sposób jest najłatwiejszy

ktoś : Eulera nie używaliśmy na zajęciach. Eulerem najłatwiej zapewne, potem z użyciem Moivre'a też przyjemnie, tylko po prostu jakoś nie potrafię zauważyć czemu nie otrzymuję poprawnego wyniku robiąc to użyciem faktu że z = a + bi

ktoś : Pisząc Movirea mam na myśli z² = z^* // mnożymy razy z z³ = |z|² z = ³√1

Adamm: e^iφ=cosφ+isinφ na pewno miałeś postać trygonometryczną a nie wyszło ci pewnie dlatego że za z podstawiłeś a+b zamiast a+bi

Adamm: nie pisz takich rzeczy jak z=³√1 to droga by stracić punkty na kolokwium/egzaminie

ktoś : Mhm, czyli mając z³ zamienić od razu na postać trygonometryczną, żeby uniknąć z = ³√1? W zeszycie mam a+bi, błąd przy wklepywaniu na laptopie.

ktoś : Okej widzę, że robiąc z a + bi dochodzą warunki przy (a+b)² = a−bi więc a−bi >= 0 Przynajmniej tak mi się wydaję

PW: (a+bi)²=a−bi a²−b²+2abi=a−bi przyrównujemy części rzeczywiste i urojone:

⎧	a2−b2=a
⎩	2ab=−b

Jeżeli b=0, to drugie równanie jest prawdziwe, a pierwsze przyjmuje postać a²=a, skąd a=0 lub a=1. Mamy więc dwa rozwiązania dla b=0: (0, 0) lub (1, 0) (liczby zespolone 0 lub 1). Jeżeli b≠0, to drugie równanie daje

	1
a=−		,
	2

co podstawione do pierwszego z równań oznacza

	1		1
		−b2=−
	4		2

	3
b2=
	4

	√3		√3
b=−		lub .b=
	2		2

	1		√3		1		√3
Istnieją zatem rozwiązania (−		,−		), (−		,		) − liczby zespolone
	2		2		2		2

	1		1
−		(1+√3i) lub −		(1−√3i).
	2		2

Sprawdzenie tych ostatnich:

	1		1		1		1
(−		(1+√3i))2=		(1−3+2√3i)=		(−2)(1−√3i)=−		(1−√3i) − jest to
	2		4		4		2

	1
rzeczywiście sprzężenie liczby −		(1+√3i).
	2

Drugą sprawdzamy analogicznie. Ostatecznie mamy cztery rozwiązania.