rownanie parametryczne Patłyk2703: Znajdź równanie parametryczne płaszczyzny o równaniu ogólnym 2x − 3x + z − 1 = 0 sorry, że wrzucam takie proste, ale muszę się upewnić, bo jak rozkminiam R³ to mam jakieś sprzeczności w rozumowaniu, sprawdzam czy materiały mam dobrze rozwiązane.

Adamm: z=−2x+3y+1 (zakładam że tam było y zamiast x) z=−2s+3t+1 y=t x=s s, t∊ℛ koniec zadania

Patłyk2703: a mógłbyś zrobić to na zasadzie wyznaczenia 2 wektorów s,t? A nie na skróty?

Patłyk2703: tzn z użyciem iloczynu wektorowego tutaj. Chodzi mi o uniwersalny algorytm jak się powinno to przekształcać. Tak jak wspomniałem mam małą niejasność i cholera do sprzeczności dochodzę.

Patłyk2703: bo teoretycznie, mamy sobie wektor normalny tej plaszczyzny z zadania, który wynosi (2,−3,1) wektory które rozpinają tą płaszczyznę, powinny mieć iloczyn wektorowy równy (2,−3,1) tzn wektor przy s i wektor przy t pomnożone wektorowo przez siebie mają nam dać (2,−3,1). Pytanie czy tak to ma wyglądać? W odpowiedziach na to zadanie mam: x=t+2s y=t−3x z=t+s+1

Patłyk2703: i jak mnożę wektorowo (1,1,1) i (2,−3,1) to jak się nietrudno domyślić, nie wychodzi mi wektor normalny, czyli (2,−3,1)

Patłyk2703: i dobra, jezeli w odpowiedzi ktora mialem wyzej jest blad (a chyba jest) to teraz moja wersja ktora rozumiem: x=0s+t+0 y=s+t+0 z=3s+t+1 dlatego, że do płaszczki należy pkt (0,0,1) bo 2*0−3*0+1−1=0 wektor pierwszy to tak jak widać (0,1,3) a wektor drugi to (1,1,1) dlatego, że iloczyn skalarny (2,−3,1)o(1,1,1)=0 i (2,−3,1)o(0,1,3)=0 a teraz iloczynek wektorowy (1,1,1)x(0,1,3)=(2,−3,1) mi w głowie teraz się zgadza. Lf confirm czy dobrze myślę, czy jest ok. Bo trochę nie ogarniam tego tematu i tak kombinuję sobie.

Mila: Równania parametryczne mogą wyjść różne, ale iloczyn wektorowy tych dwóch wektorów ma być wektorem równoległym do wektora normalnego płaszczyzny.

Patłyk2703: jest równoległy. Zgadza się.

Patłyk2703: Dziękuję Mila, że chciało Ci się to czytać , czyli moje rozumowanie jest ok?

Mila: Przekształcanie równania ogólnego płaszczyzny na postać parametryczną: π: 2x − 3y + z − 1 = 0 Obieram 3 różne punkty płaszczyzny (niewspółliniowe) A=(0,0,1)∊π x=1, y=0 to 2−0+z−1=0, z=−1 B(1,0,−1) x=0, y=1, to mamy : 0−3+z−1=0 , z=4 C=(0,1,4) AB^→=[1,0,−2] AC^→=[0,1,3] π: x=0+1t+0s y=0+0t+1s z=1−2t+3s n^→=[1,0,−2] x [0,1,3]=[2,−3,1]

Patłyk2703: a, w ten sposób, dzięki już sprawdzam patent.

Patłyk2703: Ok a takie coś? Znajdź równanie parametryczne płaszczyzny zadanej układem równań:

x−3		y+4		z−7
	=		=
2		3		5

czyli pkt który należy do płaszczki to (3,−4,7) wektor normalny to (2,3,5) zatem 2A+3B+5C+D=0 6−12+35+D=0 29+D=0 D=−29 2x+3y+5z−29=0 ogólne ^ teraz wg twojego pomysła: A=(3,−4,7) B=np.(−1,2,5) C=np.(2,0,5) AB=(−4,6,−2) AC=(−1,4,−2) (−4,6,−2)x(−1,4,−2)=(−4,−6,−10)=(−2)*(2,3,5) czyli jest to wektor równoległy. czyli przykładowe równanie parametryczne to: x= − 4s − 1t + 3 y= 6s + 4t − 4 z= − 2s − 2t + 7 @Mila, pasiuje?

Mila: Patryk, ja tam widzę równanie prostej. Dobrze przepisałeś to zadanie, czy to Twoja twórczość?

Patłyk2703: przekopiowałem je z listy od profesora

Patłyk2703: chociaż tak też jak patrzę to nie ma np. w artykule https://www.matematyka.pl/142244.htm słowa o takim sposobie zapisu płaszczyzny

Patłyk2703: może faktycznie chodzić o prostą.

Mila: To może przekształcić: 3*(x−3)=2*(y+4) i 5*(y+4)=3*(z−7) stąd: x+y−z+8=0 (3,−4,7) spełnia równanie;

Patłyk2703: dobra, mam jeszcze jedno zadanie, do sprawdzenia proszę was bardzo do wyjaśnienia niejasności bo trochę sajgon mam w głowie. Podaj równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkty: A(1,1,1) B(2,0,3) C(1,0,4) mamy AB=(1,−1,2) AC=(0,−1,3) równanie parametryczne: x=s + 0t + 1 y= −s −t + 1 z=2s + 3t + 1 a równanie ogólne, liczymy ilo.wekt. AB x AC wychodzi wektor N=(−1,−3,−1) i wtedy równanie ogólne to −x−3y−z+d=0 dla pkt np (1,1,1) i innych pozostałych B i C −1−3−1+d=0 d=5 równanie ogólne: 0= − x − 3y − z + 5 dobzie?

Mila: AB^→=[1,−1,2] AC^→=[0,−1,3] A=(1,1,1) π: x=1+s+0t y=1−s−t z=1+2s+3t, s,t∊R ============= n^→=[1,−1,2] x [0,−1,3]=[−1,−3,−1] [−1,−3,−1] || [1,3,1] Równanie płaszczyzny przechodzącej przez A(1,1,1): π: 1*(x−1)+3*(y−1)+1*(z−1)=0 π: x+3y+z−5=0

Adam: Mila, to z tym przekształcaniem to jest tylko równanie płaszczyzny zawierającej tą prostą x∊A ⇒ x∊B A⊂B, przez przekształcenia nierównoważne dostaniemy tak zbiór który może nie być równy poprzedniemu tutaj jest pierwszorzędny przykład

Patłyk2703: @Mila dziękuję Ci bardzo za pomoc naprawdę. Fajnie że tacy ludzie istnieją w zbiorze ludzkości rzeczywistej.

Mila: Dziękuję Adam, nie wiem jak zinterpretować to zadanie. Jaką masz propozycję

Adam: może chodzi o równanie parametryczne prostej?

Mila: To byłoby banalne, ale może tak.