Grupa ktoś: Udowodnij, że G (zbiór wszystkich zespolonych pierwiastków wszystkich możliwych stopni z 1) jest grupą abelową w relacji do mnożenia (G = {z∊C: (∃_n∊N)zⁿ = 1}) Mamy warunki: 1) ∀_a,b∊G a*b ∊ G 2) ∀_a,b,c∊G (a*b)*c = a*(b*c) 3) ∃_e ∀_a∊G a*e = e*a = a 4) ∃_b ∀_a∊G a*b = b*a = e 5) ∀_a,b∊G a*b = b*a Mam 1) i 2) warunek i stanąłem na 3) Ogólnie zapisuje a i b w postaci ⁿ√1 i pm{1} dobrze? Czyli 1) 1^1/n * 1^1/m = 1^{1/n + 1/m} czyli ∊G dobrze? A elementu naturalnego to znaleźć nie mogę bo 1^1/n*1 to jednak = 1^1/n+1

jc: Jedyna trudniejsza sprawa, to pokazanie, że iloczyn dwóch pierwiastków jest pierwiastkiem. Reszta jest oczywista.

ktoś: No to tak jak napisałem 1^1/n*1^1/m = 1^{1/n + 1/m} a to wciąż jest pierwiastek jakiegoś stopnia. Tylko nie mogę wpaść na to z tym elementem naturalnym.

jc: Czy wiesz co to jest pierwiastek n−tego stopnia z jedności? 1^1/n =1 i ma niewiele z tym wspólnego.

Adamm: 1) aⁿ=1 oraz b^m=1 to (ab)^mn=1 więc ab∊G 2) mnożenie jest łączne 3) e=1 4) b=a⁻¹ 5) mnożenie jest przemienne

ktoś: Okej. Widzę, że to był zły krok z tym 1^1/n zamiast zⁿ Dzięki.

ktoś: Mam pytanko jeszcze jedno Dlaczego akurat możemy zapisać aⁿ * b^m = ab^nm? Normalnie nie występuje taka zależność, a zapewne trzeba to jakoś uzasadnić.

ktoś: Poprawka: aⁿ*b^m = (ab)^nm

jc: Nie ma takiej zależności. Przeczytaj jeszcze raz, co napisał Adamm.

ktoś: Widzę już o co chodziło. Jednak dalej nie umiem stwierdzić czemu aⁿ*b^m ∊ G

ktoś: Znaczy widzę na logikę, że aⁿ*b^m wciąż nam dadzą wynik =1, zatem ich mnożenie jest jakimś pierwiastkiem zespolonym 1, ale matematycznie nie wiem jak to ująć

Adamm: nie rozumiesz tego co napisałem przeczytaj jeszcze raz

student:

ktoś : Nie to auto uzupełnienie nicku

ktoś : No z tego co rozumiem (a mozliwe ze nie rozumiem) Wiemy, że aⁿ=1 oraz b^m=1 Mamy pokazać, że wynik aⁿ*b^m dalej będzie ∊G Domyślam się, że mnożenie dwóch pierwiastków jedynki dalej da nam jakiś pierwiastek jedynki. Ale zapisu (ab)^nm nie mogę za nic zrozumieć waszego

Adamm: "Mamy pokazać, że wynik an*bm dalej będzie ∊G" nieprawda "Domyślam się, że mnożenie dwóch pierwiastków jedynki dalej da nam jakiś pierwiastek jedynki." pierwiastek jest zbiorem " Ale zapisu (ab)nm nie mogę za nic zrozumieć waszego" (2*2)^3*3 − to jest zrozumiałe dla ciebie? chyba nie cofnąłeś się do podstawówki prawda?

ktoś : Tak to rozumiem 5³*4⁶ ≠ (5*4)^3*6 Dobra po prostu może jestem za głupi, żeby to zrozumieć 

Adamm: (ab)^mn=(aⁿ)^m*(b^m)ⁿ=1 rozumiesz? mamy znaleźć taką potęgę k żeby (ab)^k=1 taką potęgą jest mn