Zadanko Master: Zadanko tekstowe W lasach jednej z wysp Archipelagu Bergamutów żyją trzy rodzaje zwierząt: sarny, wilki i lwy. Wilki zjadają sarny, lwy zjadają zarówno sarny jak i wilki. Gdy wilk zje sarnę, zmienia się w lwa. Gdy lew zje sarnę, zmienia się w wilka, a gdy zje wilka, zmienia się w sarnę. Początkowo na wyspie było 17 saren, 55 wilków i 6 lwów. Jaka jest największa możliwa liczba zwierząt, które mogą pozostać na tej wyspie w sytuacji, gdy żadne zwierzę nie może zjeść innego?

Master: i proszę oczywiście o uzasadnienie

Pytający: Oznaczmy: a // liczba zjedzeń sarny przez wilka (−sarna,−wilk,+lew) b // liczba zjedzeń sarny przez lwa (−sarna,+wilk,−lew) c // liczba zjedzeń wilka przez lwa (+sarna,−wilk,−lew) S // liczba saren W // liczba wilków L // liczba lwów Oczywiście a,b,c,S,W,L∊ℕ⁺∪{0}. Wtedy mamy:

⎧	17−a−b+c=S
⎨	55−a+b−c=W
⎩	6+a−b−c=L

Aby na końcu żadne zwierzę nie mogło zjeść innego, musi pozostać tylko jeden gatunek. Mamy więc 3 przypadki: • S=W=0 (17−a−b+c)+(55−a+b−c)=0 ⇒ a=36 17−a−b+c=0 ⇒ c=b+19 6+a−b−c=L ⇒ L=23−2b, czyli maksymalnie pozostaną 23 lwy (gdy b=0). • S=L=0 (17−a−b+c)+(6+a−b−c)=0 ⇒ 2b=23, zatem mamy sprzeczność, bo b∊ℕ. • W=L=0 (55−a+b−c)+(6+a−b−c)=0 ⇒ 2c=61, zatem mamy sprzeczność, bo c∊ℕ. Ostatecznie największa możliwa liczba zwierząt, które mogą pozostać na tej wyspie to 23 (same lwy).

Master: dziękuje ślicznie