Magda6 EGZAMIN POMOCY : Obliczyć odległość punktu P =(1, 0,1) od prostej L : −x+y+z+1=0 x+y+2z+1=0 Bardzo proszę o wytłumaczenie jak to zrobić z góry dziękuję!

Krzysiek60:

	Ax0+By0+Cz0+D|
d=
	√A2+B2+C2

EGZAMIN POMOCY : A coś więcej?

Krzysiek60: x+y+2z+1

	|1*1+1*0+2*1+1|
d=		= policz
	√12+12+22

Liczysz tak samo jak na placzyznie tylko dochodzi jedna wspolrzedna

EGZAMIN POMOCY : Jedno pytanko? Czemu wykorzystujesz w tylko 1 równie ? Tego nie rozumiem

EGZAMIN POMOCY : Równanie*

Mila: To inaczej trzeba. Napiszę za chwilę.

EGZAMIN POMOCY :

Mila: P =(1, 0,1) L: −x+y+z+1=0 x+y+2z+1=0 z=t, t∊R L:

	1
x=−		t
	2

	3
y=−1−		t
	2

z=t

	1		3
k→=[−		,−		,1] wektor kierunkowy prostej L
	2		2

	1		3
2)P'=(−		t,−1−		t,t) − rzut punktu P na prostą L:
	2		2

	1		3
PP'→=[−		t−1,−1−		t,t−1]
	2		2

PP'⊥k

	1		3		1		3
[−		t−1,−1−		t,t−1] o [−		,−		,1]=0⇔
	2		2		2		2

1		1		3		9
	t+		+		+		t+t−1=0
4		2		2		4

	2
t=−
	7

	1		4		2
P'=(		,−		,−		)
	7		7		7

	√36+16+81
PP'= √(6/7)2+(−4/7)2+(9/7)2=
	7

dokończ , a wcześniej posprawdzaj zapisy i rachunki, źle tu się pisze. Można też za pomocą płaszczyzny prostopadłej do prostej.

jc: −x+y+z+1=0 x+y+2z+1=0 Płaszczyzna prostopadła do przechodząca przez (1,0,1): x=1−s+t y=s+t z=1+s+2t Gdzie przecinają się te 3 płaszczyzny? 2s+3t+1=0 2s+6t+4=0 3t+3=0, t=−1, s=1 punkt przecięcia = (−1,0,0). Odległość (−1,0,0) od (1,0,1) wynosi √5.

Mila: || sposób wektor kierunkowy prostej:

	1		3
k=[−		,−		,1] || [1,3,−2]
	2		2

1) równanie płaszczyzny przechodzącej przez P=(1,0,1) i prostopadłej do prostej L n→=[1,3,−2] − wektor normalny płaszczyzny π : 1*(x−1)+3y−2*(z−1)=0 x+3y−2z+1=0 2) podstawiamy do równania;

	1
x=−		t,
	2

	3
y=−1−		t
	2

z=t

	1		3
−		t+3*(−1−		t)−2*t+1=0
	2		2

	2
t=−
	7

	1		4		2
P'=(		,−		,−		) − rzut punktu P na prostą
	7		7		7

3) Obliczasz |PP'| Pan Jc ma jeszcze inny− prosty sposób.

Mila: O napisał . No to mam błąd?

jc: Coś pomyliłem. 3s+2t+1=0 (tu była pomyłka) 2s+6t+4=0 −7s +1=0 s=1/7, t=−5/7 odległość od punktu przecięcia = długość wektora (−6/7, −4/7, −9/7) czyli ten sam wynik, co u Mili, choć uzyskany zupełnie inaczej.

Mila: Dziękuję JC.

EGZAMIN POMOCY : Dziękuję wam Jc możesz troszeczkę jaśniej swój sposób?

jc: Opiszę mój pomysł. Odczytujemy wektory prostopadłe do dwóch danych płaszczyzn. Piszemy równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez punkt P. Znajdujemy punkt przecięcia 3 płaszczyzn (podstawiamy x,y,z wyrażone parametrycznie do dwóch pierwszych równań i znajdujemy parametry). Uwaga, nawet nie potrzebujemy punktu przecięcia, wystarczy wektor, o który trzeba się przesunąć. Na koniec liczymy długość tego wektora.