Wykaż za pomocą indukcji matematycznej nierówność
castor: Bardzo proszę o pomoc z tym
Wykaż za pomocą indukcji matematycznej
∑(3k−2)
2 > 3(n+1)(n−1)
2
O ile z wykazywaniem równości jeszcze sobie radzę, o tyle z nierównościami już niespecjalnie
27 sty 20:54
Basia: suma jest od .... do .....?
27 sty 20:56
castor: Od k=1 do n dla każdego n∊ℕ
27 sty 21:00
Basia:
1.
n=1
L = ∑k=1 (3k−2)2 = (3−2)2=1
P = 3*2*0=0
L>P
2.
Zind: ∑k=1...n(3k−2)2 > 3(n+1)(n−1)2
Tind: ∑k=1....n,n+1(3k−2)2 > 3(n+2)*n2 = 3n3+6n2
d−d:
∑k=1....n,n+1(3k−2)2 = ∑k=1....n(3k−2)2+ [3(n+1)−2]2 >
3(n+1)(n−1)2 + (3n+1)2 =3(n+1)(n2−2n+1) + 9n2+6n+1 =
3(n3−2n2+n+n2−2n+1)+9n2+6n+1 =
3n3−6n2+3n+3n2−6n+3+9n2+6n+1 =
3n3+6n2+3n+1 > 3n3+6n2=3n2(n+2)
c.b.d.u.
27 sty 21:09
castor: Dziękuję serdecznie
Jeszcze prosiłbym o sprawdzenie, czy dobrze rozumuję:
Dla każdego n∊ℕ, ∑
k=1...n(3k−1)
2>2n
3
1. Baza indukcji
Dla n=1
L=∑
k=1(3k−1)
2=4
P=2*1
3=2
4>2
L>P
2. Krok indukcyjny
Założenie: ∑
k=1...n(3k−1)
2>2n
3
Teza: ∑
k=1...n+1(3k−1)
2>2(n+1)
3
Dowód:
L(n+1)=∑
k=1...n+1(3k−1)
2=∑
k=1...n(3k−1)
2+[3(n+1)−1]
2 >
2n
3+[3(n+1)−1]
2=2n
3+[3n+2]
2=2n
3+9n
2+12n+4=2n
3+6n
2+6n+2+3n
2+6n+2
>
2n
3+6n
2+6n+2=2(n
3+3n
2+3n+1)=2(n+1)
3=P(n+1)
27 sty 21:47