wyznacz jawny wzor na n-ty wyraz tego ciagu ucze_Sie: Rozpatrzmy ciąg(an)n≥0 zdefiniowany rekurencyjnie w następujący sposób: a0 = 1 an+1 (mała jedynka) = 2an +1 (duża 1) Wyznacz jawny wzór na n−ty wyraz tego ciągu.

Basia: "po szkolnemu" to tak: a₀=1 a_n+1=2a_n+1 a₀=1 = 2¹−1 a₁=3= 2²−1 a₂=7 = 2³−1 a₃=15=2⁴−1 a₄=31 = 2⁵−1 a₅=63 = 2⁶−1 ................................. a_n = 2ⁿ⁺¹−1 wystarczy, czy ma być formalnie (ale to dopiero na studiach)

ucze_Sie: To moze byc, zrobilem glupi blad i mi nie wychodzilo... A jeszcze mam takie polecenie: Uzasadnij jawny wzór metodą indukcji

Basia: Tw. [ a₀=1 ∧ a_n+1=2a_n+1 ] ⇒ a_n=2ⁿ⁺¹−1 1. n=1 mamy z założenia a₁=2*1+1 = 3 z tezy: a₁=2²−1=4−1=3 czyli dla n=1 tw. jest prawdziwe 2. Z_ind: a_n=2ⁿ⁺¹−1 T_ind: a_n+1 = 2ⁿ⁺²−1 (oczywiście założenie początkowe cały czas obpwiązuje) d−d: a_n+1= 2a_n+1 = 2*(2ⁿ⁺¹−1)+1 = 2ⁿ⁺²−2+1=2ⁿ⁺²−1 co należało udowodnić

Mila: II sposób a₀=1,a₁=3 a_n+1 = 2a_n +1 a_n+2=2*a_n+1+1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− odejmuję stronami a_n+1−a_n+2=2*a_an−2*a_n+1 −a_n+2+3a_n+1−2a_n=0 −x²+3x−2=0 x²−3x+2=0 x=1 lub x=2 Rozwiązanie jest postaci: a_n=A*1ⁿ+B*2ⁿ a₀=1=A+B a₁=3=A+B*2 B=2 i A=−1 a_n=−1+2*2ⁿ a_n=2ⁿ⁺¹−1 ============