Dowód, nierówność Z: Wykaż, że dla każdego a>0 prawdziwa jest nierówność:

a2+2		a+4
	≥
a		2

Sprowadziłam do wspólnego mianownika 2a:

a2−4a+4
	≥0
2a

(a−2)2
	≥0
2a

Czy jest to koniec dowodu?

Basia: tak; licznik jest ≥0 jako kwadrat; mianownik >0 z założenia więc ułamek ≥0 nierówności są równoważne więc początkowa też musi być prawdziwa dla a>0

Z: Dziękuję, pozdrawiam.

PW: Można też ciut inaczej. Mamy udowodnić nierówność równoważną nierówności

	2		a
(1) a+		≥		+2,
	a		2

która jest równoważna nierówności

	a		2
(2)		+		≥2.
	2		a

Jest to znany fakt (liczba dodatnia i jej odwrotność dają w sumie co najmniej 2). Równoważność (1) i prawdziwej nierówności (2) kończy dowód. Zakładam, że rzeczywiście nierówność

	1
x+		≥2 dla x>0
	x

jest powszechnie znana. Kto jej nie zna, może udowodnić mnożąc obustronnie przez x.