funkcje i zbiory Bartek: 1. Czy zbiór {(x,y) ∊ R: x² + y² < 4} jest otwarty, domknięty czy ograniczony? Więc tak, w tym przykładzie wydaje mi się że jest ograniczony, ponieważ jest to okrąg, a okrąg jest ograniczony. Ograniczony jest obwód czy pole, nie może być mniejsze od zera. Dobrze rozważam? 2. Jeżeli funkcja jest ciągła na prostokącie [a,b]x[c,d] to jest na tym prostokącie różniczkowalna/całkowalna/monotoniczna. Szukając odpowiedzi w głębinach internetu, obstawiam odpowiedź że całkowalna. Zgadza się?

	⎧	2 dla y<=0, y∊R
3. Funkcja f:R2 −> R określona wzorem f(x):	⎩	−1 dla y>0, y∊R	jest: ciągła /

ograniczona / stała. Gdybym miał strzelać, to padło by na stałą, ale jak to sprawdzić? 4. Jeżeli funkcja f jest ciągła na zbiorze zwartym, to jest ograniczona? Przeszukując jeszcze głębiej internet, znalazłem odpowiedź że tak, jest ograniczona. Zgadza się? 5. a) Funkcja f(x,y,z) = 2x+y−z jest ograniczona? Jakieś krótkie uzasadnienie? i to samo pytanie do funkcji kolejnej

	3
b) f(x,y,z) =
	x2+y2+9

Czy tutaj jest ograniczona przez dziedzinę? Bardzo proszę o wytłumaczenie, serdecznie dziękuje

kochanus_niepospolitus: 1) Ograniczony i otwarty. 2) Tak. Jest całkowalny. 3) Ograniczona, nie jest stała bo funkcja stała to ∃_c∊R ∀_x∊Df f(x) = c, a tu masz dwie wartości 4) Tak 5) a) Oczywiście, że nie jest. b) A jaka jest dziedzina? Bo jeżeli R³ to nie jest ograniczona.

PW: Mała poprawka: nierówność w 1) określa wnętrze koła, a nie okrąg.

Bartek: Dziękuje! 1. Nie byłby otwarty, gdyby np <= 4? A wtedy domknięty? Gdybym nie zorientował się że jest to wnętrze koła to ograniczony by był bo jest mniejszy od 4? 3. Bardzo bym prosił o podanie przykładów(jeżeli to możliwe) stałej i ciągłej. Stała by była gdyby wynosiła zawsze np 2? Czy jakaś inna opcja jest? A ciągła? Na przykładzie powinno być mi łatwiej to zrozumieć.

	⎧	y dla y<=0
Coś typu że	⎩	y−1 dla y>0

5. b) a jeżeli f(x,y) czyli nie w R³ to dobrze myślałem, że ograniczeniem może być dziedzina? Niestety nie bardzo mogłem uczestniczyć na wykładach i trochę to dla mnie czarna magia :<

Bartek: a, wracając do 5 to uzasadnieniem będzie: "Wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone."?

Bartek: odświeżam, proszę o odpowiedzi, wytłumaczenie i co do tego zadania 5 to tak jak napisałem "Wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone." i to raczej bez problemu możemy stwierdzić przy f(x,y,z) = 2x+y−z ,tak?

	3
a f(x,y,z) =		kochanusnieposolitus napisał(a) że jeżeli w R3 to nie jest
	x2+y+9

ograniczona.

	3
a co gdyby funkcja była f(x,y) =		Czyli R2?
	x2+y2+9

kochanus_niepospolitus: bez różnicy ... chodzi tutaj oto, że jeżeli x∊R ... to dla x−>0⁺ wartość tej funkcji szybuje do +∞, analogicznie dla x−>0⁻

kochanus_niepospolitus: gdyby natomiast x,y miałyby należeć do ℕ ... wtedy już mamy funkcję ograniczoną

Bartek: aa no to już wszystko jasne! Prosiłbym jeszcze o odpowiedź na pytania związane z zadaniami 1 i 3 Dziękuje!