szereg y:

	1
Mam sprawdzić zbieżność szeregu ∑(−1)n		.
	n2 + n

	1		1		1n		1
∑|(−1)n		| = ∑(1)n		= ∑		= ∑		≤
	n2 + n		n2 + n		n2 + n		n2 + n

	1
∑
	n2

a ten jest zbieżny, więc na mocy (kryterium porównawczego i) twierdzenia, że szereg

	1
bezwzględnie zbieżny jest zbieżny szereg ∑(−1)n		jest zbieżny.
	n2 + n

Ok?

karty do gry : ok

y: Dzięki

jc: Skąd wiesz, że ∑1/(n²+n) ≤ ∑1/n², skoro nie wiesz nawet, czy wyrażenie po lewej stronie ma sens?

y: A czemu miałoby go nie mieć?

y: Jedyne nad czym się zastanawiałem w tym zadaniu, to czy 1ⁿ nie utożsamiać z 1^∞ i jeżeli tak to co to oznacza, ale stwierdziłem, że skoro to nie jest ostateczny wynik, tylko jest to gdzieś w środku, to nie ma problemu..

jc: Przecież Twoje pytanie dotyczy zbieżności szeregu po lewej stronie. Nierówność ma sens tylko wtedy, gdy szereg po lewej stronie jest zbieżny. Dopóki nie wiesz, czy jest zbieżny, nie możesz pisać takiej nierówności. U mnie za takie rozważania miałbyś zero.

y: Widzę to tak:

	1
mam wykazać zbieżność szeregu ∑(−1)n		.
	n2 + n

Nie podoba mi się minus, więc skorzystam z tego, że jeżeli udowodnię zbieżność szeregu

	1		1
∑|(−1)n		|, to ∑(−1)n		też będzie zbieżny.
	n2 + n		n2 + n

	1
Zbieżność szeregu ∑|(−1)n		| wykazuję z kryterium porównawczego:
	n2 + n

	1		1
∑|(−1)n		| ≤ ∑		.
	n2 + n		n2

	1		1
Szereg ∑		jest zbieżny, bo ∑		jest zbieżny dla α>1.
	n2		nα

	1
Wykazałem zbieżność ∑		, więc z kryterium porównawczego wykazałem też zbieżność
	n2

	1
∑|(−1)n		|, a więc z twierdzenia o zbieżności bezwzględnej, wykazałem także
	n2 + n

	1
zbieżność szeregu ∑(−1)n		.
	n2 + n

Gdzie źle rozumuję?

jc: Tak, źle rozumujesz. Nie możesz napisać nierówności ∑a_n ≤ ∑b_n, jeśli nie wiesz, czy wymienione szeregi są zbieżne. Chcesz zastosować kryterium porównawcze. Możesz zapisać twierdzenie porównawcze?

y: Niech (a_n) i (b_n) będą dwoma ciągami o wyrazach nieujemnych. Jeżeli istnieje n₀ takie, że ∀(n≥n₀) a_n ≤ b_n, to ze zbieżności szeregu ∑b_n wynika zbieżność szeregu ∑a_n, a rozbieżność szeregu ∑a_n pociąga rozbieżność szeregu ∑b_n. Nadal nie wiem co jest nie tak..

Nx: Przepraszam, że się wtrącam w zadanie, ale jestem ciekawa czy zbieżność tego szeregu można sprawdzić z kryterium Leibniza.

	1		−2(n+1)
an=		, sprawdzam czy jest malejący: an+1−an=		<0. Ciąg an
	n2+n		n(n+1)(n+2)

jest malejący.

	1		1
limn→∞		=0, więc szereg ∑(−1)n		jest zbieżny
	n2+n		n2+n

y: Jeżeli możesz jc (lub ktokolwiek inny), to napisz proszę, jak powinienem to zapisać, bo tak nas uczono i nie wiem jak to inaczej zrobić.

jc: Oczywiście, że można. Przecież widać, że a_n+1 < a_n. Badanie różnicy wiąże się z ryzykiem popełnienia jakiegoś błędu. n < n+2

1		1
	>
n		n+2

1		1
	>
n(n+1)		(n+1)(n+2)

jc: y: Czy możesz napisać, jak brzmi kryterium porównawcze, które poznałeś w szkole?

Nx: Dzięki

y: Podano nam takie jak w 20:59.. chyba, że coś źle zapamiętałem.

jc: Przepraszam, pominąłem ten wpis. Napisałeś założenie a_n ≤ b_n. To nie to samo co nierówność ∑a_n ≤ ∑b_n.

y: Zatem mam po prostu napisać, że a_n ≤ b_n, więc również ∑a_n ≤ ∑b_n, a nie od razu ∑a_n ≤ ∑b_n?

y: Bo jak rozumiem jedno z drugiego wprost wynika..

jc: Czyli powinieneś napisać:

	1
∑		jest zbieżny
	n2+n

	1		1		1
bo szereg ∑		jest zbieżny i zachodzi nierówność		<		.
	n2		n2+n		n2

y: Zrozumiano, serdeczne dzięki za pomoc

y: Swoją drogą, to na prawdę oceniłbyś moją odpowiedź na 0, przez coś takiego?

jc: Taka nierówność istotnie zachodzi, ale to poważniejsza sprawa. Do czego potrzebujesz nierówności pomiędzy szeregami? Oczywiście, że możesz ją wykazać powtarzając dowód kryterium porównawczego. 0≤a_n≤b_n dla każdego n (to jest nam teraz potrzebne!). Jeśli szereg ∑b_n jest zbieżny, to ciąg sum częściowych ∑b_n (oznaczmy go przez B_n) jest niemalejący i zbieżny oraz B_n ≤ B=∑b_n. Ciąg sum częściowych szeregu ∑a_n (oznaczmy go przez A_n) jest niemalejący i ograniczony: A_n≤B_n≤B. Wynika stąd zbieżność A_n oraz nierówność A≤B, gdzie A=∑a_n.

jc: Nie, prawdopodobnie dałbym na pociesznie 1 punkt na 5 możliwych.