Rachunek różniczkowy
markkk:
"Jeżeli funkcja f : A→R jest różniczkowalna w przedziale A praz jest niemalejąca w tym
przedziale, to ∀(x∊A) f '(x)≥0" Potrafi ktoś zrobić dowód
albo pokazać gdzie znależć coś
takiego
Milo: Weźmy nie−wprost.
Załóżmy, że f jest różniczkowalna i niemalejące w przedziale A i istnieje x
0∊A takie, że
f'(x
0) < 0
z definicji
| | f(x0+h) − f(x0) | |
limh→0 |
| = g < 0 |
| | h | |
A stąd z def. Cauchy'ego granicy
| | f(x0+h) − f(x0) | | g | |
∃γ>0 taka, że jeśli |h|<γ to | |
| − g| < − |
| |
| | h | | 2 | |
No i stąd
| 3g | | f(x0+h) − f(x0) | | g | |
| < |
| < |
| |
| 2 | | h | | 2 | |
Załóżmy, że h>0
| | g | |
Wtedy mamy f(x0+h) − f(x0) < |
| h < 0 |
| | 2 | |
czyli f(x
0+h) < f(x
0)
co przeczy temu, że f jest niemalejąca, bo f(x
0+h) > f(x
0)
Teraz weźmy h<0
Mamy
| | g | |
f(x0+h) − f(x0) > |
| h > 0 |
| | 2 | |
więc f(x
0+h) > f(x
0)
ale x
0 + h < x
0
To znowu sprzeczność z tym, że funkcja jest niemalejąca
Pewnie do dopracowania, ale myślę, że myśl dobra.
