wielomiany MMatma: Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez F(x): W(x)=x⁶−1 F(x)=(x−1)(x+1)(x−2) Zaczęłam x⁶−1=(x−1)(x+1)(x−2)*Q(x)+ax²+bx+c W(1)=0 W(−1)=0 W(2)=63 mam układ trzech równan a+b+c=0 a−b+c=0 4a+2b+c=63 ............................... z równania b=a+c podstawiam do I i III a+a+c+c=0 4a+2a+2c+c=63 ''''''''''''''''''''''''''''''' 2a+2c=0 6a+3c=63 ''''''''''''''''''''''' a+c=0 2a+c=21 '''''''''''''''''a=21 b=0 c=−21 reszta wynosi R(x)=21x²−21 czy mam dobrze rozwiązane

iteRacj@: tak jest!

MMatma: Dziękuje

PW: Zadanie jest ciekawe, bo aż woła o inne rozwiązanie. Nie twierdzę, że lepsze, ale inne. x⁶−1=(x³−1)(x³+1)=(x−1)(x²+x+1)(x+1)(x²−x+1), a więc

	x6−1		(x−1)(x2+x+1)(x+1)(x2−x+1)
		=		=
	(x−1)(x+1)(x−2)		(x−1)(x+1)(x−2)

	(x2+x+1)(x2−x+1)		r
=		=P(x)+		,
	x−2		x−2

gdzie r − reszta z dzielenia wielomianu Q(x)=(x²+x+1)(x²−x+1) przez dwumian (x−2) jest równa Q(2)=(2²−2+1)(2²+2+1)=3^.7=21. Wobec tego

	x6−1		21
		=P(x)+
	(x−1)(x+1)(x−2)		x−2

i tym samym

	21
x6−1=P(x)(x−1)(x+1)(x−2)+		(x−1)(x+1)(x−2)=P(x)(x−1)(x+1)(x−2)+21(x2−1),
	x−2

co oznacza że szukana reszta jest wielomianem 21(x²−1).