pwdpdbnstw ciąg dalszy Patłyk2703: 4. Rozmieszczamy losowo n + 1 kul w n ponumerowanych urnach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ani jedna urna nie pozostanie pusta.

	n−1+1 n−1		n n−1
no to różnych rozmieszczeń tak, by żadna urna nie była pusta jest		=		=n

a |Ω|=2ⁿ

	n
czyli Pn=
	2n

dobrze myślę?

Patłyk2703: co do |Ω| nie jestem pewien, wzór z dwumianem mam ze skryptu opisujący prawie ten sam przykład.

Pytający: A wiesz skąd ten wzór z dwumianem? Czy po prostu zgadujesz? Jakie to są różne rozmieszczenia? Ustal sobie co nieco i nie zgaduj, będzie łatwiej.

Basia: wyobraź sobie, że masz to "fizycznie" wykonać; jak to zrobisz?

Patłyk2703: ten wzór z dwumianem jest z książki Rucińskiego. Jest tam ogólny wzór na liczbę kombinacji , k

	k−1 n−1
identycznych kul w n różnych szufladach, leci on jako		. Po podstawieniu tutaj

wychodzi {n}{n−1} czyli n

Patłyk2703: @Basia no w takim przypadku kiedy jest n i n+1, to po prostu wszędzie włożyłbym po jednej kuli (do każdej urny) a tą ostatnią kulę dał do losowej urny.

Basia: świetnie; teraz zastanów się jak to zapisać

Patłyk2703: no w liczniku wychodzi zatem n, gdyż tą ostatnią kulę mogę włożyć na n sposobów (bo tyle jest urn). Problem dalej mi wisi w tej |Ω|. Ale jeszcze chwilkę pomyślę.

Basia: istotne jest czy kule są rozróżnialne czy nie

Patłyk2703: hmm no a cała |Ω| nie będzie wtedy 2ⁿ . Tu mamy w totalu n+1 kul i n urn. a gdyby się zabrać

	(n+1)!
za to na zasadzie		, czyli inaczej (n+1)! ? Ale to też trochę bez sensu.
	(n+1−n)

Myślałem, że np. w pierwszej urnie może być n+1 kul, w drugiej n kul, trzeciej n−1 kul i tak do n−tej urny. Ale tu nie musi nam kula wpadać do każdej urny po kolei.

Patłyk2703: No z treści zadania wynika nam jakoś, że nie są.

Pytający: Co do tego wzoru z książki, to on pewnie wyznacza jedynie liczbę różnych sposobów, na które można rozmieścić k identycznych kul w n różnych szufladach dla k≥n>0 tak, że żadna szuflada

	4−1 2−1
nie jest pusta. Przykładowo 4 kule, 2 szuflady mamy		=3 różne rozmieszczenia: (3,1),

(2,2), (1,3). Nijak jednak ma się to do tego zadania. To jedynie liczba różnych sposobów i nic nam nie mówi o "częstości" występowania różnych rozmieszczeń. W zadaniu masz "Rozmieszczamy losowo"... czyli jak konkretnie? Musisz ustalić, co jest zdarzeniem elementarnym. Rozważ sobie prosty przypadek, 3 kule, 2 szuflady. Wtedy: |Ω|=? P(x₁,x₂) // prawdopodobieństwo, że w pierwszej szufladzie jest x₁ kul i w drugiej jest x₂ kul P(0,3)=? P(1,2)=? P(2,1)=? P(3,0)=?

Patłyk2703: 1.Tak, masz rację z tym modelem. Dokładnie tego się tyczył. 2. Dobra to ja się zgubiłem teraz

Patłyk2703: |Ω|=4

	1
P(0,3)=
	4

	1
P(1,2)=
	4

i tak dalej

Patłyk2703:

	2		1
no i możemy sobie zabrać teraz warianty z zerami, czyli pozostaje P=		=		. Tak już
	4		2

	3
zrobiłem w zeszycie jakieś x czasu temu. Zrobiłem też dla 3 urn i 4 kul, wyszło
	15

szansy, że w każdej jest przynajmniej jedna kula.

Patłyk2703: ale wciąż nie widzę zależności. Wzoru ogólnego czy idei.

Pytający: Jak dla mnie to nieintuicyjne, że te prawdopodobieństwa są sobie równe, ale skoro tak sobie zakładasz. Wtedy:

	(n+1)+(n)−1 (n+1)		2n n+1
|Ω|=		=

Dlaczego tak? Kombinacje z powtórzeniami. Masz (n+1)−elementowy multizbiór ze zbioru n−elementowego. Może prościej, jest to liczba rozwiązań całkowitych równania: x₁+x₂+...+x_n=n+1, x_i≥0 A wzór z tamtej książki to liczba rozwiązań całkowitych równania: (x₁+1)+(x₂+1)+...+(x_n+1)=n+1, x_i≥0 x₁+x₂+...+x_n=1, x_i≥0

	1+n−1 1		n 1		n n−1
Czyli		=		=		.

Basia: jeżeli one nie są rozróżnialne to mamy tylko n różnych sposobów, bo wybieram tylko jedną urnę, w której będą dwie kule, a które gdzie to już nie ma znaczenia tyle, że wtedy jest problem z mocą zbioru Ω jeżeli są rozróżnialne to |Ω| = (n+1)ⁿ problem za to jest dalej to jest zagadnienie z zakresu tzw. liczb Stirlinga nie chcę Cię wprowadzać w błąd, a już mi się źle myśli bo przysypiam poczytaj sobie może tutaj o tych liczbach Stirlinga http://www-users.mat.umk.pl/~much/RR/referaty2007/stirling-praca.pdf Jutro możemy do tego wrócić.

Patłyk2703: OK, dobranoc, ja też już siadam powoli. Przeczytam to, ale DZISIAJ

Pytający: Basiu, ale dla rozróżnialnych jest oczywiście |Ω|=nⁿ⁺¹. I również dobranoc.

Basia: Oczywiście; najlepszy dowód, że już zasypiam (n+1)→n przecież Dobranoc

Patłyk2703:

	n
Dobra, czyli dla rozróżnialnych mamy P=		?
	nn+1

Patłyk2703:

	n		2n n+1
A dla nieroroznialnych mamy P =		gdzie mianownik to
	|Ω|

Mila: 1) kule i urny rozróżnialne: |Ω|=nⁿ⁺¹ A− żadna z urn nie jest pusta

	n+1 2
|A|=		*n!

2) kule nierozróżnialne , urny rozróżnialne |Ω|=Liczba rozwiązań poniższego równania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych x₁+x₂+...+x_n=n+1, x_i≥0

	n+1+n−1 n−1		2n n−1
|Ω|=		=

A− żadna z urn nie jest pusta |A|−liczba rozwiązań poniższego równania w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych x₁+x₂+...+x_n=n+1−n, x₁+x₂+...+x_n=1

1+n−1 n−1		n n−1
	=		=n

|A|=n

Pytający: A − ani jedna urna nie pozostanie pusta • Jeśli losowe rozmieszczenie n+1 kul w n urnach polega na wzięciu każdej kuli z osobna i umieszczeniu jej w dowolnej urnie (i prawdopodobieństwo umieszczenia w każdej urnie jest takie samo), to wtedy bez różnicy, czy kule są rozróżnialne, czy są nierozróżnialne i:

	n 1 n+1 2   (n−1)!		(n+1)!
P(A)=		=		.
	nn+1		2nn

n 1
	// wybór urny z 2 kulami

n+1 2
	// wybór 2 kul do wybranej urny

(n−1)! // rozmieszczeń pozostałych (n−1) kul w pozostałych (n−1) urnach • Jeśli natomiast losowe rozmieszczenie n+1 kul w n urnach polega na wyborze rozmieszczenia unikatowego wg ilości kul w poszczególnych urnach spośród wszystkich możliwych takich rozmieszczeń (i prawdopodobieństwo wylosowania każdego takiego rozmieszczenia jest takie samo), wtedy:

	n
P(A)=
	2n n+1

Przykładowo dla 3 kul i 2 szuflad masz odpowiednio w obu wersjach: P(x1,x2) // prawdopodobieństwo, że w pierwszej szufladzie jest x₁ kul i w drugiej jest x₂ kul 1.

	1
P(3,0)=P(0,3)=
	8

	3
P(2,1)=P(1,2)=
	8

	(2+1)!		6
P(A)=		=
	2*22		8

2.

	1
P(3,0)=P(2,1)=P(1,2)=P(0,3)=
	4

	2		2
P(A)=		=
	2*2 2+1		4