calka piotri:

	2x
Może mi ktoś pomóc z całką ∫		dx
	√1−4x

Próbowałem podstawić za 2^x t ale wychodzi dziwne dt i nie potrafię z tym dt rozwiązać.

Blee: To pokaz jakie to 'dziwne' dt Ci wyszlo ... zauwaz ze ln2 to nic innego jak STALA

Piotri: Niby prawda, dt wychodzi = 2^xln2dx. Wszystko by się zgadzało, gdyby nie było tego 2^x jeszcze w dt. Ponieważ za 2^x już podstwiam t i wszystko co mi zostaje co ma związek z x to dx.

kochanus_niepospolitus: kurdę: t = 2^x

	dt
dt = 2x ln2 dx −>		= 2x dx
	ln2

	dt
∫ U{2x}{√1−(2x)2 dx = ∫		= ...
	ln2*√1−t2

piotri: A to nie możemy podstawić za t w mianowniku i liczniku t? Skoro to jest to samo? I wygląało by to tak:

	t
∫		dx (bez podstawiania tego dt)
	√1−t2

piotri: Ale dobra rozumiem już zamysł. Jeszcze potrzebuje pomocy z jedną całką:

	dx
∫		za co tutaj można podstawić . Podstawiłem za x, za √x i nic.
	1+√x

kochanus_niepospolitus: t = 1 + √x −> t−1 = √x

	1		1
dt =		dx −> dt =		dx −> 2(t−1) dt = dx
	2√x		2(t−1)

więc mamy:

	dx		t−1		1
∫		= 2∫		dt= 2∫dt − 2∫		dt= 2t − 2lnt + C= 2 + 2√x − 2(1+√x) + C=
	1+√x		t		t

= 2√x − 2ln(1+√x) + C₁

piotri: Hmm...Nie wiedzialem ze mozna tak podstawiac w dt to co przyrównaliśmy do t, czyli t= 1+√x

piotri: Myslalem, ze to co jest przyrównane do t to jest nieruszalne. Ale teraz nie rozumiem czegos... Skoro jest mozliwosc podstawiania t w dt, to czemu tak za kazdym razem nie robimy.

Jerzy: Bo nie zawsze jest taka potrzeba.

piotri: W ksiazce podstawaili tak: t² = x pozniej dx = 2tdt czyli liczona byla pochodna z t². A ty tutaj nie liczysz pochodnej z t−1, dlaczego? to mozna dowoli to robic? raz tak raz nie?

Jerzy: Pochodną liczymy dla podstawienia (obustronnie różniczkujemy)

	1
t = √x , a zatem: dt =		dx
	2√x

kochanus_niepospolitus: Powyższa całka niestety nie jest łatwą całką (pomimo łatwego zapisu początkowego). Niestety, często całki robimy dzięki doświadczeniu (przerobieniu setek innych całek w przeszłości). W tej konkretnej całce rozpocząłem od analizy całki: 1) Może ją przez części zrobić ... hmmm ... no to spróbujmy: u' = 1 ; u = x

	1
v =		; v' =
	1+√x		2√x(1+√x)2

no to za nic ładniej wyglądać nie będzie 2) No to zapewne będzie przez podstawienie, podstawienie t = 1 + √x było by najlepsze (ewentualnie t = √x)

	dx		1
no to patrzymy jak to będzie wyglądało: dt =		... hmmm nie mamy tego
	2√x		2√x

ale zauważamy, że znamy 'zależność' pomiędzy "t" a właśnie "√x" więc skorzystajmy z tego

piotri: czyli mozna tym manewrować? byle do czerwca )

: ∫arccosxdx = | u =arccosx v'=1

	1
| u'=		v = x
	√1−x2

	x
xarccosx−∫		dx = | t= x dt = dx
	√1−x2

	t
xarccosx−∫		dt
	√1−t2

	t		1		1
Osobno całka: ∫		dt = ∫		tdt = arcsin(t) *		t2 + C
	√1−t2		√1−t2		2

Wracamy do podstawienia:

	1
xarccosx−(arcsin(t) *		t2 + C)
	2

Może mi ktoś powiedzieć co jest tutaj źle? Wynikiem jest podobno: xarccosx − √1−x² + C

: Już widzę błąd, że zamieniłem w podstawianiu na wzory na całki mimo mnożenia pomiędzy dwoma wyrazami.