ciagi michal: dany jest ciąg a_n określony wzorem

	1		1		1		1
an=		+		+		+...+
	22		42		62		(2n)2

wtedy: a)ciąg ten jest rosnący b)każdy wyraz tego ciagu jest mniejszy niż 0,5 c)istnieje taki wyraz tego ciągu który jest mniejszy od 0,6 d)ciąg a_n jest malejący czy to będzie odp d? malejący? dodatkowo nie wiem jak sprawdzic podpunkty b i c

Satan: Zauważ, że ciąg jest stale malejący. n−ty wyraz jest mniejszy niż poprzedni. Pierwszy wyraz ciągu jest jest jednocześnie jego największym wyrazem.

	1		1
Czyli		. Skoro kolejne wyrazy są co raz mniejsze, to an < a1 <		.
	4		2

Tak samo c. Mniejszy od 0.6. Skoro podpunkt b jest prawdą, to podpunkt c również musi być

	5		6
prawdą, bo mamy: an <		<
	10		10

Adam: ciąg jest rosnący... suma się stale zwiększa

Basia: nie, to nie jest (d) Ten ciąg jest rosnący

	1
a1=		2 = U{1}[4}
	2*1

	1		1		1		1
a2 =		+		=		+
	(2*1)2		(2*2)2		4		16

	1		1		1		1		1		1
a3 =		+		+		=		+		+
	(2*1)2		(2*2)2		(2*3)2		4		16		36

itd.

	1		1		1		1
an+1 =		+		+....+		+		=
	22		42		(2n)2		(2(n+1))2

	1
an +
	(2(n+1))2

	1
an+1−an =		>0
	(2(n+1))2

Satan: A, tak, tfu, przepraszam. Suma większa, wyrazy mniejsze. Reszta prawidłowa.

michal: czyli dobre to będą a,b,c ?

Adamm: ∑_n=1^∞ 1/(2n)² = π²/24 czyli 1/2 faktycznie nie przekroczy

Basia: ad.b n²<2ⁿ dla każdego n≥4 (2n)²=4n²≤4*2ⁿ = 2ⁿ⁺² stąd

	1
a1=
	4

	5
a2=
	16

	5		1		5*9+1*4		49
a3=		+		=		=
	16		36		4*36		144

a dla każdego n≥4

	1		1		1		1
an <		+		+....+		=		*U{1−(1/2)n}{1−(1/2)) =
	23		24		2n+2		8

1		1		1		1
	*(1−		)*2 <		*1=
8		2n		4		4