ciag OLA: wykazac ze ciag zadany rekurencyjnie jest zbiezny i znalezc jego granice a₁=1,5 a_n+1=√3a_n−2

OLA: pod pierwistkiem jest 3a_n−2

OLA: .

Milo: Indukcyjnie pokażmy, że ∀n∊ℕ a_n∊(1,2) dla n = 1 oczywiście tak jest załóżmy, że jest tak dla n czy jest tak dla n+1? a_n+1 = √3a_n − 2 1 < a_n < 2 3 < 3a_n < 6 1 < 3a_n − 2 < 4 1 < a_n+1 < 2 no jest. Czyli wiemy, że ciąg (a_n) jest ograniczony z drugiej strony, skoro zachodzi taka nierówność, to (a_n − 1)(a_n − 2) < 0 też (bo a_n−1 > 0 i a_n − 2 < 0) a stąd a_n² − 3a_n + 2 < 0 a_n² < 3a_n − 2 a_n < a_n+1 więc (a_n) jest rosnący i ograniczony, jest więc zbieżny. Ma więc granicę g∊ℛ Ponadto jego podciąg a_n+1 ma tę samą granicę. więc kiedy z równością a_n+1 = √3a_n − 2 przejdziemy do granicy, to otrzymamy g = √3g − 2 g² = 3g − 2 g = 1 lub g = 2 ale a₁ jest rosnący, więc jego granica musi być g≥a₁ Więc g =2