Nierówność z wartością bezwględna Michał : Cześć, dobry wieczór Prosiłbym o wytłumaczenie mi procesów które mają miejsce w dwóch niżej opisanych zadaniach: Zadanie 1 Rozwiaz nierownosc ||4x−8|+7x|>9 |4x−8|>9−7x i |4x−8| <−9−7x Dla pierwszej nierówności: 4x−8>9−7x i 4x−8<−9+7x

	17		1
x>		i x>
	11		3

ponieważ było że |4x−8|>9−7x to ich suma stanowi odpowiedź. Zatem: x∊(¹₃:+∞) Dla drugiej nierownosci: 4x−8<−9−7x i 4x−8>9+7x

	1		17
x<−(		)) i x<−(		)
	11		3

ponieważ było że |4x−8|<−9+7x to ich część wspólna będzie odpowiedzią: x∊(−∞: −(¹⁷₅)) Odp na zadanie to suma przedzialow dla pierwszej i drugiej nierówności: x∊(−∞:: −(¹⁷₅) i ¹₃;+∞) 2 Zadanie ||2x+10|−5x|<5 |2x+10|<5+5x i |2x+10|>−5+5x Dla 1−szej nierównosci: 2x+10<5+5x i 2x+10>−5−5x

	5		−15
x>		i x>
	3		7

ponieważ było że |2x+10|<5x+5 to ich część wspólna będzie odpowiedzią: x∊(⁵₃:+∞) Dla 2−giej nierównosci: 2x+10>−5+5x i 2x+10<5−5x

	−5
x<5 i x<
	7

ponieważ było że |2x+10|>−5+5x to ich suma będzie odpowiedzią: x∊(−∞;5) Odp na zadanie to część wspólna przedzialow dla pierwszej i drugiej nierówności:

	5
x∊(		;5)
	3

Teraz jak już są oba zadania rozpisane moje pytanie, czemu na samym końcu zadania 1−szego odpowiedzią jest suma przedziałów, natomiast odpowiedzią na drugie jest część wspólna? Dodam jedynie tyle że ja w każdym zadaniu robiłem zawsze, sume pod koniec :< i zawsze było ok... Aż do tego przykładu. Proszę o wytłumaczenie i pozrawiam cieplutko Michał <3

Michał :

Satan: Widzisz, gdy mamy |x| > a, to x > a ∨ x < −a. Znacznik "lub" w działaniach na zbiorach to znak sumy. Teraz mamy |x| < a. Tutaj sprawa jest inna, bo: x < a ⋀ x > −a. Jak widać jest znacznik "i" oznaczający część wspólną. Obrazując to na przykładzie osi: |x| > a: są to przedziały, gdzie x jest odległe od zera o co najmniej a. W jedną i drugą stronę, bo odległość jest nieujemna. |x| < a: odległość od 0 jest co najwyżej a w jedną i drugą stronę, czyli x ∊ (−a; a). Dodatkowo jeśli |x| < a, gdzie a ∊ R₋, to nie ma rozwiązania. Chyba tutaj na stronie jest bardziej precyzyjnie wyjaśnione

Michał : Czyli |4x−8|>9−7x Znacznik > − czyli lub (or) − To lub to czyli suma przedzialow na końcu |2x+10|<5+5x Znacznik < − czyli i (and) − I czyli część wspólna dobrze rozumiem?

ite: Michał w Twoim rozwiązaniu zadania 1/ trzeba poprawić już trzeci krok, dlatego wpisuję całe rozwiązanie. (1) ||4x−8|+7x|>9 tutaj wartość bezwzględna jest porównywana z liczbą dodatnią i sytuacja jest jednoznaczna. |4x−8|>9−7x lub |4x−8|<−9−7x tutaj wartość bezwzględna jest porównywana z wyrażeniem, które zawiera zmienną ⇒ trzeba rozważyć dwie możliwości. a/ |4x−8|>9−7x przypadek I prawa strona nierówności jest ujemna, wtedy cała nierówność jest zawsze prawdziwa 9−7x<0

	9
x>		każda liczba z tego przedziału spełnia wyjściową nierówność (1)
	7

przypadek II prawa strona nierówności jest nieujemna

	9
x≤		wtedy
	7

4x−8>9−7x lub 4x−8<−9+7x

	17		1
x>		lub x>
	11		3

w sumie z warunkiem powyżej

	1		9
x∊Φ lub		<x≤		liczby z tego przedziału spełniają wyjściową
	3		7

nierówność (1) b/ |4x−8|<−9−7x przypadek I prawa strona nierówności jest niedodatnia, brak rozwiązań −9−7x≤0

	−7
dla x≥		brak rozwiązań
	9

przypadek I prawa strona nierówności jest dodatnia −9−7x>0

	−7
x<
	9

wtedy 4x−8<−9−7x i 4x−8<9+7x

	−9		−17
x<		i x<
	11		3

	−17
łącznie te trzy warunki dają x<		liczby z tego przedziału spełniają wyjściową
	3

nierówność (1)

	−17		1		9		9
w sumie mamy odpowiedzi: x<		lub		<x≤		lub x>
	3		3		7		7

	−17		1
czyli x∊(−∞,		)∪(		,+∞) tak jak masz w podręczniku
	3		3