ZADANIA Z TEORII MNOGOŚCI mrmatmic97: Udowodnij,że następujące rodziny zbiorów mają moc continuum. c) C pisane= {A⊆ℤ:ℕ⊆A} c) D pisane= {A⊆ℕ:∀n∊ℕ(n²∊A)} c) F pisane= {A⊆ℕ:∀n>10(|A∩{0,1....,n−1}|<n−10)} c) G pisane= {A⊆ℕ:∀n>0(|A∩{0,1....,2n−2,2n−1}|=n)}

Adam: dla C każdemu zbiorowi A przypisujemy zbiór Z\A dostaniemy tak bijekcję C na zbiór podzbiorów N∪{0} który ma moc continuum

Adam: no nie do końca, zbiór Z₋∪{0} ale zbiorowi temu przypisujemy bijekcję taką że każdemu elementowi x przypisujemy −x i mamy zbiór N∪{0}

Adam: każdemu zbiorowi A przypiszemy zbiór A\{x∊N: √x∊N} wtedy mamy bijekcję między A a podzbiorami zbioru N^*=N\{x∊N: √x∊N} zbiór N^* jest przeliczalny, więc zbiór jego podzbiorów ma moc continuum, zbiór D ma więc moc continuum

Adam: to było D

Adam: F jest to zbiór podzbiorów N, takich że wśród 0, 1, ..., 10 jest mniej niż jedna liczba ze zbioru A wśród 0, ..., 11 jest mniej niż 2 itd. czyli są to podzbiory zbioru N\{0, 1, ..., 10} który jest oczywiście zbiorem przeliczalnym, zbiór jego podzbiorów − mocy continuum

Adam: G zbiór taki że wśród 0, 1 jest dokładnie jedna 0, 1, 2, 3 są 2 itd, możemy poprowadzić bijekcję ciągu a_n który przyjmuje wartość 0 gdy 2n−2∊A oraz 1 gdy 2n−3∊A czyli mamy bijekcję ciągów 0 i 1 na zbiór G taki zbiór jest mocy continuum