zbieżność zbieżność:

	1
Mam zbadać zbieżność szeregu ∑		z wykorzystaniem kryterium porównawczego.
	n3 + n2 + n

Wiem (niestety dzięki Wolframowi − jak inaczej? zgadywać?), że jest on rozbieżny. Zatem jak rozumiem, muszę znaleźć jakiś ciąg an, który będzie miał nieujemne wyrazy i będzie od

	1
jakiegoś n zachodziło an ≤		, oraz ∑an będzie rozbieżny.
	n3 + n2 + n

Pytanie, jak to zrobić..

jc: Co wpisałeś do Wolframa? Przecież od razu widać, że zbieżny.

Basia: ależ on jest zbieżny n³+n²+n>n³

	1		1
0 <		<
	n3+n2+n		n3

b.: Ten szereg jest zbieżny, Wolfram Cię oszukał

zbieżność: Rzeczywiście napisane jest, że zbieżny.. ale wtopa Jak na to patrzeć żeby od razu to widzieć?

zbieżność:

	1
Oraz skąd wiedzieć, że		jest zbieżny?
	n3

Basia: No przecież wiemy, że szereg harmoniczny

	1
∑		jest zbieżny dla α >1, a rozbieżny dla 0<α<1
	nα

patrzeć na najwyższą potęgę licznika i mianownika i wykonać dzielenie

	n2+3n+1
np. ∑
	√n3+2

n2
	= n1/2 rozbieżny
n3/2

	3n4+5n+1
∑
	6n3+3

n4		1
	=		rozbieżny
n3		n

	√n5+1
∑
	3n5+1

n5/2		1
	=		zbieżny
n5		n5/2

i tak dalej ale to tylko przy prostych potęgach, jak już będą jakieś funkcje nie ma tak dobrze

PW: No to weź nierówność n³+n²+n > n², a więc

	1		1
		<		,
	n3+n2+n		n2

	π2
a szereg odwrotności kwadratów ma znaną sumę		(problem bazylejski).
	6

zbieżność: Dzięki Basiu i PW − teraz to rozumiem. Niestety mam jeszcze 2 przykłady w których jest ln.

	lnn
b) ∑
	n3 + 11

	n5
c) ∑
	2nlnn

Znacie na to jakiś fajny sposób?

Basia:

	lnn		n		n		1
∑		<∑		<		=		zbieżny
	n3+11		n3+1		n3		n2

jc: A coś takiego

	ln n
∑		?
	n√n

Basia: dla n>3 lnn>1

	n5		n5
∑		<∑		zbieżny, zadziała kryterium Cauchy'ego
	2n*lnn		2n

	n5		(n1/n)5		(n√n)5		15		1
n√n5/2n = (		)1/n =		=		→		=
	2n		2		2		2		2

zbieżność:

	lnn		n		1
∑		< ∑		= ∑		, więc wyglądałoby na to, że rozbieżny..
	n√n		n√n		√n

czemu więc tak nie jest?

zbieżność: Bardzo dziękuję za rozwiązanie b) i c)! Mam jeszcze jedno (ostatnie) zadanie, ale w nim podobno trzeba mocno pokombinować

	1
∑		* cos(nπ)
	en + 2n

pierwsze co przychodzi mi do głowy, to:

	cos(nπ)		1		1
∑		≤ ∑		≤ ∑		, a ten jest zbieżny, więc
	en + 2n		en + 2n		2n

mam zbieżny Może tak być?

Basia: jc tu już nie jest tak łatwo można spróbować z kryterium całkowego

	lnx
∫1+∞		dx
	x*√x

chyba da się policzyć, chociaż pewna nie jestem

	lnx
∫		dx
	x√x

t=lnx e^t=x e^t/2=√x

	dx
dt=
	x

	−2
= ∫e−t/2dt = −2e−t/2 =
	e(lnx)/2

jeżeli się nie pomyliłam to mamy

	−2		2
limx→+∞		+		= 0+2=2
	e(lnx)/2		e0

całka zbieżna to i szereg zbieżny

Basia: mniejszy < rozbieżny nie musi być rozbieżny kryterium porównawcze mówi ∑a_n < zbieżnego ⇒ a_n zbieżny ∑a_n > rozbieżnego ⇒ a_n rozbieżny dotyczy szeregów o wyrazach dodatnich

Basia: ad.post z 0:36 bardzo dobrze

jc: Nie może. W ogóle, co to za pisanie? ∑a_n ≤ ∑b_n, jak nie wiemy, czy szereg po lewej lub po prawej jest zbieżny? ∑a_n oznacza liczbę tylko w przypadku szeregu zbieżnego.

Basia: jest tylko małe ale,to nie jest szereg o wyrazach dodatnich cos (nπ) dla n nieparzystych ma wartość −1 jest bezwzględnie zbieżny

Adam: ln(n)/(n√n) Kryterium zagęszczania n/(√2)ⁿ − zbieżny

Basia: oj nie nudź; wiadomo o co chodzi

jc: ln x ≤ x ln ³√n ≤ ³√n ln n ≤ 3³√n

	ln n		3n1/3		3
0 ≤		≤		=
	n3/2		n3/2		n7/6

jc: Basia, tylko, że potem student dostanie zero i będzie się dziwił.

Basia: fajnie

jc: I tak dobrze, jak student kojarzy szereg z sumą, a nie tylko z kryteriami zbieżności.

zbieżność: Dzięki za wczorajszą pomoc, bardzo ułatwiła mi zrozumienie materiału na dzisiejszych zajęciach