Znaleźć rzut prostokątny punktu na płaszczyznę H Solitude1: Znaleźć rzut prostokątny punktu P=(−1,2,5) na płaszczyznę H zawierającą trzy punkty: K = (−7,2,0), L=(−7,0,−1), M=(0,7,−8). Obliczyć odległość tego punktu od tej płaszczyzny. Prosiłbym od czego tu zacząć i wytłumaczenie jak to zrobić. Domyślam się, że potrzebuję równania ogólnego płaszczyzny. Nie wiem jednak jak to obliczyć.

Solitude1: Policzyłem następująco: → KL = [0,−2,1] → ML = [7,7,−9] Pomnożyłem wektorowo i uzyskałem [11,−7,−14], podstawiłem pod wzór na równanie ogólne płaszczyzny i mam: 11x − 7y − 14z + 91 = 0 Dobrze?

jc: Możesz znaleźć równanie ogólne płaszczyzny, a potem rzut jako przecięcie prostej prostopadłej do płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt z płaszczyzną. −−−−−−−−−−−− Te same rachunki tylko tylko inaczej ubrane: u=L−K v=M−K w=P−K P'=K+su+tv (K+su+tv−P)*u=0 (K+su+tv−P)*v=0 su² + tuv=wu suv + tv²=wv

jc: Jeśli nie pomyliłeś się w rachunkach, to dobrze. A teraz przetnij otrzymaną płaszczyznę odpowiednią prostą.

Solitude1: A mogę zrobić tak, że skorzystam z równania kierunkowego, przejdę na równanie parametryczne, podstawię do równania płaszczyzny, obliczę t a potem współrzędne rzutu P'? Za chwilę rozpiszę to po swojemu i będę wdzięczny jak ktoś sprawdzi

jc: Przetnij teraz płaszczyznę prostą (x,y,z)=(−1,2,5)+t(11,−7,14).

Solitude1: Wyszły mi brzydkie wyniki, ale możliwe że takie powinny być

	161
x = −
	183

	169
y= 1
	183

	155
z= 4
	183

Solitude1:

	2
Wcześniej wyznaczyłem sobie t =
	183

Korzystałem z parametrycznego oczywiście

jc: Jeśli autor zadania się nie postarał, to wyniki mogły wyjść straszne. Ważne, że wiesz jak rozwiązuje się takie zadania.

Solitude1: No to się cieszę, że dobrze tutaj poszło. Odległość już wiem jak się liczy, więc już tego tutaj nie piszę. Dziękuję za pomoc i wskazówki

jc: Odległość możesz policzyć z gotowego wzoru lub, co na to samo wychodzi mnożąc (2/183) przez √366. Wynik = 4/√366.

Mila: 1) K = (−7,2,0), L=(−7,0,−1), M=(0,7,−8). KL^→=[0,−2,−1] KM^→=[7,5,−8] [0,−2,−1] x [7,5,−8]=[21,−7,14] n^→=[3,−1,2] wektor normalny płaszczyzny π: 3*(x+7)−(y−2)+2*(z−0)=0, K∊π π: 3x−y+2z+23=0

	|3*(−1)−2+2*5+23|
2) d(P,π)=
	√32+12+22

	28
d=		=2√14
	√14

3) k=[3,−1,2] wektor kierunkowy prostej prostopadłej do π, P=(−1,2,5)∊prostej

x+1		y−2		z−5
	=		=
3		−1		2

x=−1+3t, y=2−t z=5+2t, t∊R 3*(−1+3t)−(2−t)+2*(5+2t)+23=0 t=−2 P'=(−7,4,1) spr. odległości |PP"|=√6²+2²+4²=√36+4+16=√56=2√14 ===================================

jc: Czyli jednak gdzieś pomyliłeś się w rachunkach. Cóż zdarza się Właściwie tylko jedna cyfra, zamiast 21 napisałeś 11.

jc: Mila, nie potrzebujemy równania kierunkowego prostej. Od razu piszemy równanie parametryczne (równanie kierunkowe wydaje się wynikać z parametrycznego).

Solitude1: A jednak Dziękuję Mila za poprawkę <3