Liczby pierwsze Maciek: Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych x,y dla których wartość wyrażenia (x−y) − (√x − √y) jest liczbą pierwszą.

Basia: nie może być x=y bo wtedy dostajemy 0 a to nie jest liczba pierwsza (x−y)−(√x−√y) = (x−√x) − (y−√y)∊N z tego wynika, że x−√x>y−√y czyli x>y x,y∊N⇒ x−y∊N ⇒ to musi być √x−√y∊N √x−√y=n √x=n+√y x = n²+2n√y+y x−y−n² = 2n√y x−y−n² jest całkowita czyli wyierna czyli √y też musi być wymierny pierwiastek z liczby naturalnej jest wymierny ⇔ istnieje takie k∊N,że y=k² analogicznie musi być dla x czyli istnieje m∊N, że x=m² (x−y)−(√x−√y) = (m²−k²) −(m−k) = (m−k)(m+k)−(m−k) = (m−k)(m+k−1) ten iloczyn może być liczbą pierwszą ⇔ jeden z czynników =1 1. m−k=1 m=k+1 wtedy 1(k+1+k−1)= 2k jedyną parzystą liczbą pierwsza jest 2 czyli 2k=1 k=1 m=2 x=2²=4 y=1²=1 2. m+k−1=1 k+m=2 m = 2−k ale k,m∊N więc może być tylko k=0 i m=2 lub k=1 i m=1 (odpada na mocy początkowej uwagi) lub k=2 i m=0 ⇒ x=0 i y=4 odpada bo x>y czyli możemy mieć pary (x,y) postaci (4;1) lub (2;0)

Maciek: Dzięki wielkie, teraz rozumiem

Maciek: Nie rozumiem jedynie drugiej pary

Maciek: Tam powinno być (4;0) zamiast (2;0)?

Adam: ale 0 nie jest naturalne

Maciek: 0 jest naturalne

Adam: nie to sprawa umowna xd