jednostajna ciągłość xtz: Zbadaj, czy funkcja f: R −>R jest jednostajnie ciągła f(x)= √x ktoś mógłby dokładnie wytłumaczyć jak to zrobić?

jc: Jeśli |√x−√u|≥ε, to √x ≥ε lub √u ≥ε, a wtedy √x+√u≥ε. Stąd |x−u|=|√x−√x|(√x+√u) ≥ ε². Zatem jeśli |x−u|<ε², to |√x−√u|<ε, co daje jednostajną ciągłość funkcji x→√x.

Basia: x₁<x₂ (można to założyć) x₂ = α*x₁ i α>1

	ε
|√x2−√x1|=√x2−√x1 < ε ⇔ √αx1−√x1<ε ⇔ √x1(α−1)<ε ⇔ √x1<		⇔
	α−1

	ε2		ε2
x1<		=
	(α−1)2		a2−2a+1

α>1 ⇒ −2a+1<−2+1=−1 ⇒ a²−2a+1>a²−1 α>1 ⇒ α²>α

	ε2		ε2
x1<		<
	α2−1		α−1

(α−1)*x₁<ε² αx₁−x₁<ε² x₂−x₁<ε² czyli ∀_ε>0 ∃_δ=ε² ∀_x1,x2∊D (|x₂−x₁|<δ ⇒ |√x₂−√x₁|<ε co należało udowodnić