Rachunek prawdopodobieństwa - losowy punk ze zbioru
michal: Ze zbioru
D = {(x,y) ∊ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 2 ≤ y ≤ 4}
wybieramy losowo punkt (x,y). W zależności od wartości parametru a ∊ R obliczyć P(y ≤ x + a).
Będę bardzo wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu lub ewentualne wskazówki.
16 sty 18:39
Basia:
niebieskie to zadany prostokąt
czerwone to prosta y=x (czyli a=0)
przesuwamy tę prostą tak żeby był jakiś obszar wspólny prostokąta i półpłaszczyzny pod prostą
bo y≤x+a
dla a=1 (zielone) to jeden punkt wspólny
dla a=4 (fiolet) to już cały prostokąt
i dla każdego a≥4 to już będzie cały prostokąt
rozrysuj to sobie na oddzielnych rysunkach bo to już się robi nieczytelna
dla a∊(1,2>
dla a∊(2,3>
dla a∊(3;4)
bo dla a≤1 P(a)=0
a dla a≥4 P(a) = 2
jeżeli sobie nie poradzisz napisz rozrysujemy to kolejno w tych przedzialach i zastanowimy się
co trzeba zrobić bo to będą różne rzeczy
16 sty 18:59
michal: Dziękuję za odpowiedź.
Czyli, aby obliczyć P(y ≤ x + a) muszę obliczyć:
1) dla a∊(1,2> pole trójkąta utworzonego pod prostą a =2
2) dla a∊(2,3> pole trapezu pod prostą a =3
3) dla a∊(3;4) pole całego prostokąta.
Oczywiście, jest to prawdopodobieństwo, więc każdą obliczoną częśc dzielę przez pole
prostokąta, czyli 2?
16 sty 19:26
Basia:
nie; to jest prosta y=x+a
dla a∊(1,2> ona przetnie prawy dłuższy bok prostokąta
dostaniesz trójkąt prostokątny;
y=2
y=x+a
x+a=2
x=2−a
x=1
y=x+a
y=1+a
A(2−a; 2)
B(1;a+1)
podstawa = 1−(2−a)=a−1
wysokość = a+1−2 = a−1
16 sty 19:39
Basia: boki prostokąta zawierają się w prostych o równaniach
y=2 (podstawa dolna)
y=4 (podstawa górna)
x=0 (lewy bok)
x=1 (prawy bok)
16 sty 19:41
michal: A no tak, teraz rozumiem!
Czyli, dla a∊(2,3> będzie to pole trapezu liczone w ten sposób: 1/2(a−2+a−1) * 1
16 sty 19:43
Basia:
a∊(2,3>
trapez
C(1;2) D(0;2)
trzeba znaleźć współrzędne A i B
A
x=0
y=x+a
y=0+a=a
A(0,a)
B
x=1
y=x+a
y=a+1
B(1;a+1)
AD = a−2
BC = a+1−2 = a−1
h=1
został jeszcze przypadek a∊(3;4)
16 sty 19:50
Basia: tak; załapałeś czyli już skończysz
potem to zebrać "do kupy" i opisać P(a)
16 sty 19:51
michal: W takim razie bardzo dziękuję za super wyczerpującą pomoc!
16 sty 19:54