Wyznacz majk: Prosta o równaniu y=a² x+3a przecina hiperbolę o równaniu y= ⁴_x w dwóch punktach, A i B. Wyraź długość odcinka AB w zależności od wartości parametru a < 0. Wyznacz równanie prostej, która przecina opisaną w zadaniu hiperbolę tak, aby długość odcinka AB była najmniejsza.

Basia: rozwiązujesz układ równań x≠0 y=a²x+3a

	4
y=
	x

U{4}{x) = a²x+3a /*x 4 = a^x2+3ax a²x²+3ax−4=0 a≠0 bo dla a=0 mamy sprzeczność −4=0 Δ≥0 Δ=9a²−4*a²*(−4) = 9a²+16a²=25a² Δ>0 dla każdego a≠0 √Δ = 5|a| a<0 ⇒ p}{Δ}= −5a

	−3a−5a		4
x1=		= −		y1= −a
	2a2		a

	−3a+5a		1
x2=		=		y2=4a
	2a2		a

	4
A(−		; −a)
	a

	1
B(		;4a)
	a

|AB| jest najmniejsza ⇔ |AB|² jest najmniejsza

	1		4		1
f(a) = |AB|2 = (		+		)2 + (4a+a)2 = 25(		+a2)
	a		a		a2

	1		2		a4−1
f'(a) = 25(2a−		*2a) = 25(2a −		) = 50*		=
	a4		a3		a3

50(a2+1)
	(a2−1)
a3

	50(a2+1)
dla a<0		jest stale ujemny
	a3

dla a<0 a²−1=0 ⇔ a=−1 a∊(−∞;−1) ⇒ a²−1>0 ⇒ f'(a)<0 ⇒ f maleje a∊(1,0) ⇒ a²−1<0 ⇒ f'(a)>0 ⇒ f rośnie dla a=−1 mamy minimum równanie prostej: y=x−3

majk: Dzięki wielkie