Baza przestrzeni wektorowej
ktoś: Udowodnij, że jeśli zbiór S = {v1,v2, ... ,vn} jest bazą przestrzeni wektorowej V, to wtedy R =
{v1,v1+v2, ... ,v1+v2+ ... +vn} jest również bazą tej przestrzeni.
Czyli mamy dwa warunki dla zbioru R, aby był bazą V:
1) liniowa niezależność
2) span(R) = V
Pierwszy warunek mam, ale nie wiem jak pokazać drugi.
16 sty 13:59
jc:
v1=v1
v2=(v1+v2)−v1
v3=(v1+v2+v3)−(v1+v2)
...
A więc każdy wektor, który potrafisz wyrazić przez wektory z I zbioru,
dasz radę wyrazić przez wektory z II zbioru.
16 sty 14:03
Basia:
span(S) = { ∑bi*vi: bi∊R}
span(R) = {a1*v1+a2(v1+v2)+......+an(v1+v2+....+vn): ai∊R}
w∊span(R) ⇔w=(a1+a2+....+an)v1+(a2+...+an)v2+......+anvn
skoro ai∊R to ich sumy również i odwrotnie każdy zestaw b1,....,bn
da się rozpisać tak aby
b1=a1+....+an
b2=a2+....+an
....................
bn=an
"od tyłu" np.tak
an=bn
an−1 = bn−1−an
an−2 = bn−2−an−1−an
itd.
stąd w∊span(R) ⇔ w∊span(S) czyli span(R)=span(S)=V
16 sty 14:23