ekstrema lokalne funkcji Sosna: ekstrema lokalne funkcji f(x,y)=x³−3x²+y²−6xy−36x+24y+37

mela: f'_x = 3x²−6x−6y−36 f'_y = 2y−6x+24 f"_xx = 6x−6 f"_xy = −6 f"_yx = −6 f"_yy=2 3x²−6x−6y−36=0 /:3 2y−6x+24=0 /:2 x²−2x−2y−12=0 y−3x+12=0 y=3x−12 x²−2x−2(3x−12)−12=0 x²−8x+12=0 Δ=64+4*12 = 4*4*4+4*4*3 = 16(4+3)=16*7 √Δ = 4√7

	8−4√7
x1=		= 4−2√7
	2

y₁=12−6√7−12=−6√7

	8+4√7
x2=		= 4+2√7
	2

y₂=12+6√7−12=6√7 f"_xx(x₁,y₁) = 24−12√7−6 = 18−12√7 W₁ = 18−12√7 −6 −6 2 = 36−24√7−36=−24√7<0 czyli w punkcie (4−2√7;−6√7) nie ma ekstremu, f"_xx(x₂,y₂) = 24+12√7−6 = 18+12√7 W₂ = 18+12√7 −6 −6 2 = 36+24√7−36 = 24√7>0 czyli w punkcie (4+2√7;6√7) jest ekstr.lokalne i jest to minimum bo f"(4+2√7;6√7)>0

Basia: sprawdź rachunki; mogłam się pomylić

Sosna: x2−8x+12=0 Δ=64+4*12 = 4*4*4+4*4*3 = 16(4+3)=16*7 √Δ = 4√7 8−4√7 x1= = 4−2√7 2 y1=12−6√7−12=−6√7 8+4√7 x2= = 4+2√7 2 y2=12+6√7−12=6√7 f"xx(x1,y1) = 24−12√7−6 = 18−12√7 W1 = 18−12√7 −6 −6 2 = 36−24√7−36=−24√7<0 czyli w punkcie (4−2√7;−6√7) nie ma ekstremu, f"xx(x2,y2) = 24+12√7−6 = 18+12√7 W2 = 18+12√7 −6 −6 2 = 36+24√7−36 = 24√7>0 czyli w punkcie (4+2√7;6√7) jest ekstr.lokalne i jest to minimum bo f"(4+2√7;6√7)>0 no wydaje mi sie ze Δ=64−48=16

liteon: a jaki jest warunek na to czy jest to ekstremum minimalne lub maksymalne?

Robert: mam przykład f(x,y) = x² + y² + 2/xy jak policzyć ekstrema lokalne tej funkcji ?

Trivial: Gdzieś chyba jest błąd, bo: http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+x^3%E2%88%923x^2%2By^2%E2%88%926xy%E2%88%9236x%2B24y%2B37

Trivial: Dokładnie, Δ = 16.

Trivial: Nie zwróciłem uwagi na daty. Robert, tak jak wyżej.

Robert: No wlasnie nie jestem w stanie tego jakoś przełożyć dborze bo wychodzi mi że funkcja ma ekstremum równe 0 w punkcie (Pierwiastek z 1; pierwiastek z 1) czyli xo = V1 i yo = V1 Moglby ktos to sprawdzic?

Trivial: http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+x^2+%2B+y^2+%2B+2%2F%28x*y%29

Robert: hej Trivial, sorka ale moglbys mi pomoc, bo wychodzą mi pierwiastki z jedynek a nie jedynki wychdodza mi: f'x = 2x − 2/(x²y) f'y = 2y − 2/(y²x) f'xx =2 f'yy = 2 x=1/x²y, y=1/y²x, i dalej tym tropem dochdoze do x= √1 i y = √1

Trivial:

	2		y		1
2x −		= 0 / *		→ y =		.
	x2y		2x		x3

	2
2y −		= 0 / : 2
	y2x

Podstawiamy...

1		1		1
	−		=		− x5 = 0
x3		1   *x x6		x3

1
	= x5
x3

1 = x⁸ Czyli mamy: x₁ = 1 lub x₂ = −1 y₁ = 1 y₂ = −1

Trivial: A pochodne drugiego stopnia są policzone źle.

Robert: Ok mam 2 pytanka. po 1. dlaczgo sa policzone zle pochodne drugiego stopnia? reszte rozumiem wielkie dzięki

Trivial: Pomijasz drugą część wyrażenia.

	2
f'x = 2x −
	x2y

	4
f''xx = 2 +
	x3y