W zbiorze liczb rzeczywistych rozwiąż równanie miki: W zbiorze liczb rzeczywistych rozwiąż równanie x² − 8[x] + 7 = 0 gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą liczby x.

Adamm: x² musi być więc całkowite (co niekoniecznie oznacza że x musi) 8[x]=x²+7 teraz x−1<[x]≤x 8(x−1)<x²+7≤8x 0<x²−8x+15 oraz x²−8x+7≤0 (x<3 lub x>5) oraz 1≤x≤7 1≤x<3 lub 5<x≤7 jeśli 1≤x<2 to 8=x²+7 skąd x=1 2≤x<3 to 16=x²+7, brak rozwiązań jeśli 5<x<6 to 40=x²+7 skąd x=√33 jeśli 6≤x<7 to 48=x²+7 skąd x=√41 i x=7 sprawdzamy zatem x∊{1, √33, √41, 7}

Mila:

kochanus_niepospolitus: więc mamy: [x] = x−1 dla x∊ℤ [x] = 'podłoga z' x dla x∉ℤ 1) niech x∊ℤ wtedy mamy: x² − 8(x−1) + 7 = 0 x² − 8x + 15 = 0 (x−5)(x−3) = 0 czyli: x = 3 ∨ x = 5 2) niech x∉ℤ zauważamy, że x>1 (tylko wtedy −8[x] < 0) niech [x] = k (gdzie k∊ℤ), wtedy x² ∊ (k² ; (k+1)²> więc: k² − 8k + 7 < x² − 8[x] + 7 ≤ (k+1)² −8k + 7 (k−1)(k−7) < x² − 8[x] + 7 ≤ k² − 6k + 8 (k−1)(k−7) < x² − 8[x] + 7 ≤ (k−2)(k−4) skoro mamy mieć: x² − 8[x] + 7 = 0 to jest na to szansa tylko jeżeli: (k−1)(k−7) < 0 ∧ (k−2)(k−4) ≥ 0 czyli gdy: k∊(1;7) ∧ k∊(−∞,2> ∪ <4,+∞) co daje nam 'rejon' poszukiwań: k∊(1;2> ∪ <4;7) jako że wiemy, że k∊ℤ to ostatecznie mamy: k ∊ { 2, 4, 5, 6} i patrzymy jak będzie wyglądało to równanie dla [x] = 2 lub [x] = 4 lub [x] = 5 lub [x] = 6 a) [x]=2 (czyli x∊(2,3) ) x² − 16 + 7 = x² − 9 = (x−3)(x+3) = 0 ... brak rozwiązania (dla x∉ℤ) b) [x]=4 (czyli x∊(4,5) ) x² − 32 + 7 = x² − 25 = (x−5)(x+5) = 0 ... brak rozwiązania (dla x∉ℤ) c) [x]=5 (czyli x∊(5,6) ) x² − 40 + 7 = x² − 33 = 0 ⇒ x =√33 < √36 = 6 ... więc mamy rozwiązanie d) [x]=6 (czyli x∊(6,7) ) x² − 48 + 7 = x² − 41 = 0 ⇒ x = √41 < √49 = 7 ... więc mamy rozwiązanie Reasumując: Masz cztery różne rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

Adamm: kochanus [x]=x dla x całkowitych